Номер 319, страница 148 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 319, страница 148.

Условие.

319. С какой скоростью был брошен камень под углом к горизонту, если на высоте 7,5 м его скорость оказалась вдвое меньше скорости в момент бросания? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

$h = 7,5$ м

$v = \frac{v_0}{2}$

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$ - ?

Решение:

Поскольку в задаче указано пренебречь сопротивлением воздуха, то на камень во время полета действует только сила тяжести. Сила тяжести является консервативной силой, поэтому для камня выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ тела равна сумме его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний системы:

1. В момент броска (начальное состояние).

2. На высоте $h = 7,5$ м.

Закон сохранения энергии: $E_1 = E_2$, или $E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$.

Выберем начальный уровень (точку броска) за нулевой уровень потенциальной энергии. Тогда:

В начальном состоянии (1):

Начальная скорость равна $v_0$.

Высота $h_1 = 0$.

Кинетическая энергия: $E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2}$, где $\text{m}$ - масса камня.

Потенциальная энергия: $E_{p1} = mgh_1 = 0$.

Полная начальная энергия: $E_1 = \frac{mv_0^2}{2}$.

В состоянии на высоте $\text{h}$ (2):

Скорость по условию $v = \frac{v_0}{2}$.

Высота $h_2 = h = 7,5$ м.

Кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{mv^2}{2} = \frac{m(\frac{v_0}{2})^2}{2} = \frac{m\frac{v_0^2}{4}}{2} = \frac{mv_0^2}{8}$.

Потенциальная энергия: $E_{p2} = mgh$.

Полная энергия на высоте $\text{h}$: $E_2 = \frac{mv_0^2}{8} + mgh$.

Приравниваем полные энергии в начальном и конечном состояниях:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{8} + mgh$

Сократим массу $\text{m}$ в каждом члене уравнения:

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v_0^2}{8} + gh$

Теперь решим это уравнение относительно $v_0$:

$\frac{v_0^2}{2} - \frac{v_0^2}{8} = gh$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{4v_0^2 - v_0^2}{8} = gh$

$\frac{3v_0^2}{8} = gh$

Выразим $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{8gh}{3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{8gh}{3}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_0 = \sqrt{\frac{8 \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 7,5 \text{ м}}{3}} = \sqrt{\frac{78,4 \cdot 7,5}{3}} = \sqrt{\frac{588}{3}} = \sqrt{196}$ м/с

$v_0 = 14$ м/с.

Ответ: камень был брошен со скоростью 14 м/с.