Номер 312, страница 148 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Импульс тела. Закон сохранения импульса - номер 312, страница 148.

Условие.

312. С какой силой давит на землю кобра, готовясь к прыжку, поднимаясь вертикально вверх с постоянной скоростью $\text{v}$? Масса змеи $\text{m}$, ее длина $\text{L}$.

Решение.

Дано:

$\text{m}$ – масса змеи

$\text{L}$ – длина змеи

$\text{v}$ – постоянная скорость подъема

Найти:

$F_{давл}$ – сила, с которой кобра давит на землю.

Решение:

Сила, с которой кобра давит на землю ($F_{давл}$), по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры ($\text{N}$), действующей на кобру со стороны земли. Таким образом, нам необходимо найти величину силы $\text{N}$.

Рассмотрим кобру как систему тел. В процессе подъема часть змеи движется с постоянной скоростью $\text{v}$, а часть покоится на земле. Это задача на движение системы с переменной массой (точнее, с изменяющейся массой движущейся части). Для решения используем второй закон Ньютона в обобщенной форме:

$ \vec{F}_{внеш} = \frac{d\vec{P}}{dt} $

где $ \vec{F}_{внеш} $ – векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, а $ \vec{P} $ – суммарный импульс системы.

На систему (всю кобру) действуют две внешние силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх. Спроецируем уравнение на вертикальную ось, направленную вверх:

$ N - mg = \frac{dP_y}{dt} $

где $P_y$ – проекция суммарного импульса на вертикальную ось.

Найдем суммарный импульс системы в произвольный момент времени $\text{t}$. Будем считать, что масса змеи распределена по ее длине равномерно. Тогда линейная плотность массы змеи равна $ \lambda = \frac{m}{L} $.

К моменту времени $\text{t}$ над землей поднимется часть змеи длиной $x = vt$. Масса этой движущейся части равна $ m_{движ} = \lambda x = \frac{m}{L}vt $. Эта часть движется со скоростью $\text{v}$, поэтому ее импульс равен $ P_{движ} = m_{движ} v = \left(\frac{m}{L}vt\right)v = \frac{mv^2}{L}t $.

Оставшаяся часть змеи покоится на земле, ее импульс равен нулю. Следовательно, суммарный импульс всей системы в момент времени $\text{t}$ равен:

$ P_y = P = P_{движ} = \frac{mv^2}{L}t $

Теперь найдем скорость изменения импульса (его производную по времени):

$ \frac{dP_y}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{L}t\right) = \frac{mv^2}{L} $

Подставим полученное выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$ N - mg = \frac{mv^2}{L} $

Отсюда выражаем силу нормальной реакции опоры:

$ N = mg + \frac{mv^2}{L} $

Сила давления на землю $F_{давл}$ равна по модулю силе нормальной реакции $\text{N}$:

$ F_{давл} = mg + \frac{mv^2}{L} $

Таким образом, сила давления состоит из двух частей: веса змеи ($mg$) и дополнительной силы ($ \frac{mv^2}{L} $), которая возникает из-за того, что для отрыва от земли и придания скорости $\text{v}$ новым участкам тела змеи требуется сила.

Ответ:

Сила, с которой кобра давит на землю, равна $F_{давл} = mg + \frac{mv^2}{L}$.