Номер 310, страница 147 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Импульс тела. Закон сохранения импульса - номер 310, страница 147.

Условие.

310. Спортсмен, стоя на краю плота лицом к плоту, решил перепрыгнуть через плот в воду. Какую максимальную ширину плота он может преодолеть в прыжке, если его начальная скорость $35 \text{ м/с}$? Масса плота в 2 раза больше массы спортсмена.

Решение.

Дано

Масса спортсмена: $m_с$
Масса плота: $m_п = 2 m_с$
Начальная скорость спортсмена относительно плота: $v_{отн} = 35$ м/с
Ускорение свободного падения: $g = 9.8$ м/с²

Найти:

Максимальную ширину плота, которую может перепрыгнуть спортсмен: $L_{max}$

Решение

Рассмотрим систему «спортсмен + плот». В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, поэтому для этого направления выполняется закон сохранения импульса. Изначально плот и спортсмен покоятся, поэтому их суммарный импульс равен нулю.

Пусть спортсмен прыгает под углом $\alpha$ к горизонту. Его скорость относительно плота $\vec{v}_{отн}$ имеет величину $v_{отн} = 35$ м/с. Разложим эту скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие:$v_{отн,x} = v_{отн} \cos\alpha$$v_{отн,y} = v_{отн} \sin\alpha$

Обозначим скорость спортсмена относительно земли (воды) как $\vec{v}_с$, а скорость плота как $\vec{v}_п$. Плот может двигаться только горизонтально. Тогда $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_с - \vec{v}_п$. В проекциях на оси координат (ось X — горизонтально, ось Y — вертикально):$v_{отн,x} = v_{с,x} - v_{п,x}$$v_{отн,y} = v_{с,y} - v_{п,y} = v_{с,y}$ (так как плот не движется по вертикали, $v_{п,y}=0$)

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось X:$0 = m_с v_{с,x} + m_п v_{п,x}$Подставим $m_п = 2m_с$:$m_с v_{с,x} + 2m_с v_{п,x} = 0$$v_{с,x} = -2v_{п,x}$ или $v_{п,x} = -\frac{1}{2}v_{с,x}$

Теперь выразим скорости относительно земли через относительную скорость:$v_{отн,x} = v_{с,x} - v_{п,x} = v_{с,x} - (-\frac{1}{2}v_{с,x}) = \frac{3}{2}v_{с,x}$Отсюда находим горизонтальную скорость спортсмена относительно земли:$v_{с,x} = \frac{2}{3}v_{отн,x} = \frac{2}{3}v_{отн} \cos\alpha$

Ширина плота $\text{L}$, которую преодолевает спортсмен, складывается из расстояния $L_с$, которое пролетел спортсмен вперед, и расстояния $L_п$, на которое отъехал плот назад за время полета $\text{t}$.$L = L_с + L_п = v_{с,x} \cdot t + |v_{п,x}| \cdot t = (v_{с,x} - v_{п,x}) \cdot t$Так как $v_{с,x} - v_{п,x} = v_{отн,x}$, то $L = v_{отн,x} \cdot t = (v_{отн} \cos\alpha) \cdot t$.

Время полета $\text{t}$ определяется вертикальной составляющей скорости спортсмена относительно земли $v_{с,y}$ и равно времени полета тела, брошенного вертикально вверх с этой скоростью:$v_{с,y} = v_{отн,y} = v_{отн} \sin\alpha$$t = \frac{2v_{с,y}}{g} = \frac{2v_{отн} \sin\alpha}{g}$

Подставим выражение для времени полета $\text{t}$ в формулу для ширины плота $\text{L}$:$L = (v_{отн} \cos\alpha) \cdot \left(\frac{2v_{отн} \sin\alpha}{g}\right) = \frac{v_{отн}^2 \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:$L = \frac{v_{отн}^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная ширина $L_{max}$ достигается при максимальном значении $\sin(2\alpha)$, которое равно 1. Это происходит, когда $2\alpha = 90^\circ$, то есть при угле прыжка $\alpha = 45^\circ$.$L_{max} = \frac{v_{отн}^2}{g}$

Подставим числовые значения:$L_{max} = \frac{(35 \text{ м/с})^2}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{1225}{9.8} \text{ м} = 125 \text{ м}$

Ответ: Максимальная ширина плота, которую спортсмен может преодолеть в прыжке, составляет 125 м.