Номер 316, страница 148 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 316, страница 148.

Условие.

316. Однородная веревка длиной 1 м переброшена через блок так, что вначале она находится в равновесии. Ее немного смещают, и она начинает соскальзывать с блока. Найдите скорость веревки в тот момент, когда она полностью соскользнет с блока. Трение не учитывать.

Решение.

Дано:

Длина веревки $L = 1$ м.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$.

Найти:

Скорость веревки $\text{v}$.

Решение:

Так как в условии сказано пренебречь трением, то для решения задачи можно воспользоваться законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия системы (веревки) является суммой ее кинетической $\text{K}$ и потенциальной $\text{U}$ энергий и остается постоянной.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную линию, проходящую через ось блока.

Рассмотрим два состояния системы: начальное и конечное.

1. Начальное состояние: веревка находится в равновесии, значит, с каждой стороны блока свешивается одинаковая длина веревки, равная $L/2$. Веревку немного смещают, поэтому ее начальная скорость равна нулю ($v_1 = 0$), и начальная кинетическая энергия системы также равна нулю ($K_1 = 0$).

Потенциальная энергия системы в начальном состоянии складывается из потенциальных энергий двух ее половин. Пусть $\text{m}$ — масса всей веревки. Тогда масса каждой половины равна $m/2$. Центр масс каждой половины находится на глубине $h_1 = (L/2)/2 = L/4$ относительно нулевого уровня. Таким образом, начальная потенциальная энергия системы равна:

$U_1 = -\frac{m}{2}g h_1 - \frac{m}{2}g h_1 = -2 \left( \frac{m}{2}g \frac{L}{4} \right) = -\frac{mgL}{4}$

Полная механическая энергия в начальном состоянии:

$E_1 = K_1 + U_1 = 0 - \frac{mgL}{4} = -\frac{mgL}{4}$

2. Конечное состояние: веревка полностью соскользнула с блока. В этот момент вся веревка длиной $\text{L}$ и массой $\text{m}$ движется со скоростью $\text{v}$.

Кинетическая энергия системы в конечном состоянии:

$K_2 = \frac{1}{2}mv^2$

Центр масс всей веревки теперь находится на глубине $h_2 = L/2$ относительно нулевого уровня. Потенциальная энергия системы в конечном состоянии:

$U_2 = -mgh_2 = -mg\frac{L}{2}$

Полная механическая энергия в конечном состоянии:

$E_2 = K_2 + U_2 = \frac{1}{2}mv^2 - mg\frac{L}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$-\frac{mgL}{4} = \frac{1}{2}mv^2 - mg\frac{L}{2}$

Выразим скорость $\text{v}$ из этого уравнения:

$\frac{1}{2}mv^2 = mg\frac{L}{2} - mg\frac{L}{4}$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgL}{4}$

Сократим массу $\text{m}$:

$\frac{1}{2}v^2 = \frac{gL}{4}$

$v^2 = \frac{gL}{2}$

$v = \sqrt{\frac{gL}{2}}$

Подставим известные значения:

$v = \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}}{2}} = \sqrt{4.9 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 2.21 \text{ м/с}$

Ответ: $v \approx 2.2$ м/с.