Номер 369, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 369, страница 154.

Условие.

369. Период колебания маятника на поверхности Луны в 2,36 раза больше периода колебаний на Земле. Каков радиус Луны, если ее масса в 81 раз меньше массы Земли? Радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

$\frac{T_Л}{T_З} = 2,36$ (отношение периодов колебаний маятника на Луне и на Земле)
$\frac{M_З}{M_Л} = 81$ (отношение масс Земли и Луны)
$R_З = 6400 \text{ км}$ (радиус Земли)

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$R_Л$ — радиус Луны.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Длина маятника в обоих случаях одинакова.

Запишем формулы для периодов колебаний на Луне ($T_Л$) и на Земле ($T_З$):
$T_Л = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}$
$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

Найдем отношение этих периодов, разделив первое уравнение на второе:$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_Л}}$

Из условия задачи известно, что $\frac{T_Л}{T_З} = 2,36$. Возведем это отношение в квадрат, чтобы найти отношение ускорений свободного падения:$\frac{g_З}{g_Л} = (\frac{T_Л}{T_З})^2 = 2,36^2 = 5,5696$

Ускорение свободного падения на поверхности планеты (или спутника) определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:$g = G\frac{M}{R^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, $\text{R}$ — его радиус.

Запишем выражения для ускорений свободного падения на Земле и Луне:$g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$
$g_Л = G\frac{M_Л}{R_Л^2}$

Подставим эти выражения в найденное ранее отношение ускорений:$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{G\frac{M_З}{R_З^2}}{G\frac{M_Л}{R_Л^2}} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot (\frac{R_Л}{R_З})^2$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $\frac{g_З}{g_Л}$:$5,5696 = \frac{M_З}{M_Л} \cdot (\frac{R_Л}{R_З})^2$

Подставим известное из условия отношение масс $\frac{M_З}{M_Л} = 81$:$5,5696 = 81 \cdot (\frac{R_Л}{R_З})^2$

Выразим из этого уравнения искомый радиус Луны $R_Л$:$(\frac{R_Л}{R_З})^2 = \frac{5,5696}{81}$
$\frac{R_Л}{R_З} = \sqrt{\frac{5,5696}{81}} = \frac{2,36}{9}$
$R_Л = R_З \cdot \frac{2,36}{9}$

Подставим числовое значение радиуса Земли и выполним вычисления:$R_Л = 6400 \text{ км} \cdot \frac{2,36}{9} \approx 1678,22 \text{ км}$

Округлим полученное значение до трех значащих цифр.$R_Л \approx 1680 \text{ км}$

Ответ: радиус Луны равен примерно 1680 км.