Номер 363, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 363, страница 154.

Условие.

363. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой – 4 с. Каков период колебаний маятника, длина которого равна сумме длин обоих маятников?

Решение.

Дано:

Период колебаний первого маятника, $T_1 = 3$ с

Период колебаний второго маятника, $T_2 = 4$ с

Длина третьего маятника, $l_3 = l_1 + l_2$

Найти:

Период колебаний третьего маятника, $T_3$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Чтобы найти связь между длиной маятника и периодом его колебаний, выразим длину $\text{l}$ из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

Отсюда получаем выражение для длины маятника:

$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Из этой зависимости видно, что длина маятника прямо пропорциональна квадрату его периода ($l \sim T^2$).

Запишем выражения для длин первого и второго маятников:

$l_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина третьего маятника $l_3$ равна сумме длин первых двух маятников:

$l_3 = l_1 + l_2 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} + \frac{T_2^2 g}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Период колебаний третьего маятника $T_3$ связан с его длиной $l_3$ той же формулой:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{l_3}{g}}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $l_3$:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Сократим $\text{g}$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Вынесем $4\pi^2$ из-под корня:

$T_3 = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi}$

Сократив $2\pi$, получаем итоговую формулу для периода третьего маятника:

$T_3 = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$T_3 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ с.

Ответ: период колебаний маятника, длина которого равна сумме длин обоих маятников, составляет 5 с.