Номер 367, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 367, страница 154.

Условие.

367. Часы с маятником длиной 1 м за сутки отстают на 1 ч. На сколько надо укоротить маятник часов, чтобы они показывали точное время?

Решение.

Дано:

Начальная длина маятника $l_1 = 1$ м

Реальное время $t_{реал} = 24$ ч

Отставание часов за сутки $\Delta t = 1$ ч

Время, которое показывают часы за сутки $t_{часов} = t_{реал} - \Delta t = 23$ ч

Найти:

$\Delta l$ — на сколько нужно укоротить маятник.

Решение:

Период колебаний математического маятника зависит от его длины и определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. Из формулы видно, что период пропорционален квадратному корню из длины маятника: $T \propt°\sqrt{l}$.

Если часы отстают, значит период их колебаний $T_1$ больше, чем правильный период $T_2$, необходимый для точного хода. Чтобы часы шли быстрее, нужно уменьшить период, а для этого — укоротить маятник до новой длины $l_2$.

Связь между временем, которое показывают часы ($t_{часов}$), и реальным временем ($t_{реал}$) можно выразить через отношение периодов колебаний маятника — фактического ($T_1$) и правильного ($T_2$). За одно и то же реальное время маятник совершит определенное количество колебаний $\text{N}$.

$t_{реал} = N \cdot T_1$

Время, которое отсчитают часы за $\text{N}$ колебаний, равно:

$t_{часов} = N \cdot T_2$

Разделив второе уравнение на первое, получим отношение периодов:

$\frac{t_{часов}}{t_{реал}} = \frac{T_2}{T_1}$

Подставим известные значения времени:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{23 \text{ ч}}{24 \text{ ч}} = \frac{23}{24}$

Теперь выразим отношение периодов через длины маятников $l_1$ и $l_2$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Приравняем оба выражения для отношения периодов:

$\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \frac{23}{24}$

Возводим обе части в квадрат, чтобы найти, какой должна быть новая длина $l_2$:

$\frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{23}{24}\right)^2 = \frac{529}{576}$

Отсюда $l_2 = l_1 \cdot \frac{529}{576}$. Так как $l_1 = 1$ м, то:

$l_2 = 1 \cdot \frac{529}{576} = \frac{529}{576}$ м

Вопрос задачи — на сколько надо укоротить маятник. Для этого найдем разность $\Delta l = l_1 - l_2$:

$\Delta l = 1 \text{ м} - \frac{529}{576} \text{ м} = \frac{576 - 529}{576} \text{ м} = \frac{47}{576}$ м

Переведем результат в более привычный вид, вычислив значение и выразив его в сантиметрах:

$\Delta l = \frac{47}{576} \text{ м} \approx 0.081597... \text{ м} \approx 8.16$ см

Ответ: Маятник необходимо укоротить на $\frac{47}{576}$ м (приблизительно на 8.16 см).