Номер 368, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 368, страница 154.

Условие.

368. Во сколько раз увеличится период колебаний математического маятника, если его поднять с уровня моря на Эверест? Радиус Земли 6400 км. Высота Эвереста над уровнем моря 8,9 км.

Решение.

Дано:

Радиус Земли, $R = 6400$ км

Высота Эвереста над уровнем моря, $h = 8,9$ км

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$h = 8,9 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

Отношение периода колебаний на Эвересте ($T_2$) к периоду колебаний на уровне моря ($T_1$), то есть $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина маятника (которая в данном случае не изменяется), а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Ускорение свободного падения зависит от высоты над поверхностью Земли. Согласно закону всемирного тяготения, оно обратно пропорционально квадрату расстояния от центра планеты:

$g = G\frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, а $\text{r}$ — расстояние от центра Земли.

На уровне моря ($h_1 = 0$) расстояние до центра Земли равно радиусу Земли $\text{R}$. Обозначим ускорение свободного падения на уровне моря как $g_1$, а период колебаний как $T_1$.

$g_1 = G\frac{M}{R^2}$

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_1}}$

На вершине Эвереста на высоте $\text{h}$ над уровнем моря, расстояние до центра Земли будет $r_2 = R+h$. Обозначим ускорение свободного падения на этой высоте как $g_2$, а период колебаний как $T_2$.

$g_2 = G\frac{M}{(R+h)^2}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_2}}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличится период, необходимо найти отношение $\frac{T_2}{T_1}$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_2}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_1}}} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}}$

Найдем отношение ускорений свободного падения:

$\frac{g_1}{g_2} = \frac{G\frac{M}{R^2}}{G\frac{M}{(R+h)^2}} = \frac{(R+h)^2}{R^2} = \left(\frac{R+h}{R}\right)^2 = \left(1+\frac{h}{R}\right)^2$

Подставим полученное выражение в формулу для отношения периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\left(1+\frac{h}{R}\right)^2} = 1+\frac{h}{R}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи. Так как мы ищем отношение, единицы измерения (километры) сократятся, и переводить их в метры не обязательно.

$\frac{T_2}{T_1} = 1 + \frac{8,9 \text{ км}}{6400 \text{ км}} = 1 + 0,001390625$

Округлим результат до четырех знаков после запятой:

$\frac{T_2}{T_1} \approx 1,0014$

Это означает, что период колебаний увеличится в 1,0014 раза.

Ответ: Период колебаний увеличится в $\approx 1,0014$ раза.