Номер 365, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 365, страница 154.

Условие.

365. Определите первоначальную длину математического маятника, если при уменьшении длины маятника на 5 см частота колебаний увеличилась в 5 раз.

Решение.

Дано:

Уменьшение длины маятника: $ \Delta l = 5 $ см

Отношение частот: $ \frac{\nu_2}{\nu_1} = 5 $

Перевод в систему СИ:

$ \Delta l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м} $

Найти:

Первоначальную длину маятника $ l_1 $.

Решение:

Частота колебаний математического маятника определяется формулой, которая является обратной к формуле периода $ T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $:

$ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $

где $ l $ – длина маятника, а $ g $ – ускорение свободного падения.

Из формулы видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины маятника: $ \nu \propt°\frac{1}{\sqrt{l}} $.

Запишем это соотношение для двух состояний маятника:

1. Начальное состояние с длиной $ l_1 $ и частотой $ \nu_1 $.

2. Конечное состояние с длиной $ l_2 $ и частотой $ \nu_2 $.

По условию задачи, длина маятника уменьшилась на $ \Delta l $, значит:

$ l_2 = l_1 - \Delta l $

Частота при этом увеличилась в 5 раз:

$ \nu_2 = 5\nu_1 $

Составим отношение частот:

$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} $

Подставим в это соотношение известные нам значения:

$ 5 = \sqrt{\frac{l_1}{l_1 - \Delta l}} $

Чтобы решить это уравнение относительно $ l_1 $, возведем обе части в квадрат:

$ 25 = \frac{l_1}{l_1 - \Delta l} $

Теперь выразим $ l_1 $:

$ 25(l_1 - \Delta l) = l_1 $

$ 25l_1 - 25\Delta l = l_1 $

$ 25l_1 - l_1 = 25\Delta l $

$ 24l_1 = 25\Delta l $

$ l_1 = \frac{25}{24}\Delta l $

Подставим числовое значение $ \Delta l = 5 $ см:

$ l_1 = \frac{25}{24} \cdot 5 \text{ см} = \frac{125}{24} \text{ см} \approx 5.2083... \text{ см} $

Округлим результат до сотых:

$ l_1 \approx 5.21 \text{ см} $

Ответ: первоначальная длина маятника составляла $ \frac{125}{24} $ см, что приблизительно равно 5.21 см.