Номер 361, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 361, страница 154.

Условие.

361. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 10 колебаний, а второй – 7. Какова длина первого маятника, если длина второго 1 м?

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 10$.

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 7$.

Длина второго маятника, $l_2 = 1$ м.

Время колебаний, $t_1 = t_2 = t$.

Найти:

Длину первого маятника, $l_1$.

Решение:

Период колебаний математического маятника (при малых углах отклонения) зависит от его длины и определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Период колебаний также можно найти, разделив общее время колебаний $\text{t}$ на число совершенных за это время колебаний $\text{N}$:

$T = \frac{t}{N}$

Запишем выражения для периодов первого и второго маятников, используя обе формулы.

Для первого маятника:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$ и $T_1 = \frac{t}{N_1}$

Для второго маятника:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$ и $T_2 = \frac{t}{N_2}$

Поскольку по условию задачи время колебаний $\text{t}$ для обоих маятников одинаково, мы можем выразить его из вторых уравнений для периодов:

$t = T_1 N_1$

$t = T_2 N_2$

Приравняем правые части этих выражений:

$T_1 N_1 = T_2 N_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение периодов:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Теперь найдем отношение периодов, используя формулу Гюйгенса:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}$

После сокращения одинаковых множителей ($2\pi$ и $\sqrt{g}$) получаем:

$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения периодов:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Чтобы найти $l_1$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Выразим отсюда искомую длину первого маятника $l_1$:

$l_1 = l_2 \cdot \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия:

$l_1 = 1 \, \text{м} \cdot \left(\frac{7}{10}\right)^2 = 1 \cdot (0.7)^2 = 1 \cdot 0.49 = 0.49 \, \text{м}$

Ответ: длина первого маятника составляет 0.49 м.