Номер 362, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 362, страница 154.

Условие.

362. На сколько увеличилась длина нити математического маятника, если период его колебаний, первоначально равный 1,5 с, увеличился в 3 раза?

Решение.

Дано:

$T_1 = 1,5 \, \text{с}$

$\frac{T_2}{T_1} = 3$

$g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

$\Delta l$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ – длина нити маятника, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Из этой формулы видно, что квадрат периода колебаний прямо пропорционален длине нити:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} l \implies l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$

Таким образом, отношение длин нитей для двух состояний маятника будет равно отношению квадратов их периодов:

$\frac{l_2}{l_1} = \frac{\frac{gT_2^2}{4\pi^2}}{\frac{gT_1^2}{4\pi^2}} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$

По условию задачи, период увеличился в 3 раза, то есть $\frac{T_2}{T_1} = 3$. Подставим это значение в соотношение:

$\frac{l_2}{l_1} = 3^2 = 9$

Это означает, что конечная длина нити $l_2$ в 9 раз больше начальной длины $l_1$: $l_2 = 9l_1$.

Изменение (увеличение) длины нити $\Delta l$ равно разности между конечной и начальной длинами:

$\Delta l = l_2 - l_1 = 9l_1 - l_1 = 8l_1$

Для нахождения численного значения $\Delta l$, сначала вычислим начальную длину нити $l_1$, используя начальный период $T_1 = 1,5 \, \text{с}$. В расчетах будем использовать $\pi \approx 3,14$.

$l_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} \approx \frac{9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot (1,5 \, \text{с})^2}{4 \cdot (3,14)^2} = \frac{9,8 \cdot 2,25}{4 \cdot 9,8596} \approx \frac{22,05}{39,4384} \approx 0,559 \, \text{м}$

Теперь можем рассчитать, на сколько увеличилась длина нити:

$\Delta l = 8l_1 \approx 8 \cdot 0,559 \, \text{м} \approx 4,472 \, \text{м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью начальных данных), получаем:

$\Delta l \approx 4,5 \, \text{м}$

Ответ: длина нити математического маятника увеличилась примерно на 4,5 м.