Номер 364, страница 154 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Механические колебания и волны - номер 364, страница 154.

Условие.

364. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте за некоторое время один – 30 колебаний, другой – 36 колебаний. Найдите длины маятников.

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 30$

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 36$

Разница длин маятников, $\Delta l = 22 \text{ см}$

Время колебаний, $t = \text{const}$

Ускорение свободного падения, $g = \text{const}$

Перевод в СИ:

$\Delta l = 0.22 \text{ м}$

Найти:

$l_1$ — ?

$l_2$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника ($\text{T}$) связан с его длиной ($\text{l}$) и ускорением свободного падения ($\text{g}$) формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Период также можно определить как время ($\text{t}$), затраченное на совершение определенного числа колебаний ($\text{N}$): $T = \frac{t}{N}$.

Маятник, который совершает большее число колебаний за то же время, имеет меньший период. Пусть $N_1 = 30$ и $N_2 = 36$. Так как $N_1 < N_2$, то $T_1 > T_2$.

Из формулы периода следует, что чем больше период, тем больше длина маятника. Следовательно, $l_1 > l_2$.

Тогда разница длин маятников равна: $\Delta l = l_1 - l_2$.

Запишем отношения периодов для двух маятников. С одной стороны:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1}$

С другой стороны, используя формулу периода через длину:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Приравниваем правые части полученных выражений:

$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения $N_1$ и $N_2$:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{36}{30}\right)^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} = 1.44$

Из этого соотношения выразим $l_1$ через $l_2$:

$l_1 = 1.44 \cdot l_2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $l_1 - l_2 = 0.22$

2) $l_1 = 1.44 \cdot l_2$

Подставим второе уравнение в первое:

$1.44 \cdot l_2 - l_2 = 0.22$

$0.44 \cdot l_2 = 0.22$

$l_2 = \frac{0.22}{0.44} = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем длину первого маятника $l_1$:

$l_1 = l_2 + 0.22 = 0.5 + 0.22 = 0.72 \text{ м}$

Таким образом, длина более короткого маятника равна $0.5 \text{ м}$ (или $50 \text{ см}$), а длина более длинного маятника — $0.72 \text{ м}$ (или $72 \text{ см}$).

Ответ: длины маятников равны 50 см и 72 см.