Номер 139, страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

7 класс. Взаимодействие тел. 7. Скорость. Единицы скорости. Расчёт пути и времени движения - номер 139, страница 22.

Решение.

Дано

$v_{ср} = 40 \text{ км/ч}$

$v_1 = 60 \text{ км/ч}$

$S_1 = S_2 = S/2$ (где $\text{S}$ - весь путь)

Перевод в систему СИ:

$v_{ср} = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_2$ - ?

Решение

Средняя скорость на всём пути определяется по формуле:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения.

Пусть весь путь равен $\text{S}$. По условию, первую половину пути $S_1 = S/2$ велосипедист ехал со скоростью $v_1$, а вторую половину $S_2 = S/2$ — со скоростью $v_2$.

Время, затраченное на первую половину пути, равно: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Время, затраченное на вторую половину пути, равно: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Общее время движения равно сумме времён на каждом участке: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$.

Подставим выражения для общего пути $\text{S}$ и общего времени $t_{общ}$ в формулу средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Сократим $\text{S}$ и упростим выражение:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}} = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Теперь из этой формулы выразим искомую скорость $v_2$:

$v_{ср}(v_1 + v_2) = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_1 + v_{ср}v_2 = 2v_1v_2$

$v_{ср}v_1 = 2v_1v_2 - v_{ср}v_2$

$v_{ср}v_1 = v_2(2v_1 - v_{ср})$

$v_2 = \frac{v_{ср}v_1}{2v_1 - v_{ср}}$

Подставим числовые значения (для удобства расчетов используем км/ч, так как все данные в этих единицах):

$v_2 = \frac{40 \cdot 60}{2 \cdot 60 - 40} = \frac{2400}{120 - 40} = \frac{2400}{80} = 30 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость велосипедиста на остатке пути составила 30 км/ч.