Номер 1459, страница 165 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 52. Равномерное прямолинейное движение. Графическое представление. Координаты движущихся тел. Графики проекций скорости и перемещения - номер 1459, страница 165.

Решение.

Дано:

Скорость лодки относительно воды (из задачи 1456): $v_л = 4$ м/с.

Скорость течения реки (из задачи 1456): $v_т = 3$ м/с.

Найти:

1. Как направить лодку, чтобы она переплыла реку перпендикулярно течению.

2. Какова скорость сложного движения лодки $\text{v}$.

Решение:

Движение лодки относительно берега является сложным. Ее скорость относительно берега (абсолютная скорость) $\vec{v}$ складывается из скорости лодки относительно воды (относительная скорость) $\vec{v}_л$ и скорости воды относительно берега, то есть скорости течения (переносная скорость) $\vec{v}_т$. Согласно правилу сложения скоростей:

$\vec{v} = \vec{v}_л + \vec{v}_т$

По условию задачи, лодка должна пересечь реку по прямой, перпендикулярной направлению течения. Это означает, что вектор результирующей скорости лодки $\vec{v}$ должен быть перпендикулярен вектору скорости течения $\vec{v}_т$. Для этого лодку необходимо направить под некоторым углом против течения. Векторная сумма скоростей в этом случае образует прямоугольный треугольник, где гипотенузой является скорость лодки относительно воды $v_л$, а катетами — скорость течения $v_т$ и результирующая скорость лодки относительно берега $\text{v}$.

Как следовало бы направить лодку, чтобы она переплыла реку перпендикулярно течению

Чтобы результирующая скорость $\vec{v}$ была перпендикулярна течению, необходимо, чтобы составляющая скорости лодки $\vec{v}_л$ вдоль течения компенсировала скорость течения $\vec{v}_т$. Направление лодки можно охарактеризовать углом $\alpha$ между вектором скорости лодки $\vec{v}_л$ и перпендикуляром к берегу (направлением вектора $\vec{v}$). Этот угол должен быть направлен в сторону, противоположную течению. Из прямоугольного треугольника скоростей находим синус этого угла:

$\sin\alpha = \frac{v_т}{v_л}$

Подставляем известные значения:

$\sin\alpha = \frac{3 \text{ м/с}}{4 \text{ м/с}} = 0.75$

Отсюда находим сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arcsin(0.75) \approx 48.6^\circ$

На чертеже это изображается следующим образом: вектор скорости течения $\vec{v}_т$ направлен горизонтально (вдоль берега). Вектор результирующей скорости $\vec{v}$ направлен вертикально (перпендикулярно берегу). Вектор собственной скорости лодки $\vec{v}_л$ является гипотенузой, соединяющей концы векторов $-\vec{v}_т$ и $\vec{v}$ (если их отложить из одной точки), и направлен под углом $\alpha$ к вектору $\vec{v}$ против течения.

Ответ: Лодку следовало бы направить под углом $\alpha = \arcsin(0.75) \approx 48.6^\circ$ к перпендикуляру к берегу, против течения.

Какова в этом случае была бы скорость сложного движения лодки

Скорость сложного движения лодки — это модуль её результирующей скорости относительно берега, $\text{v}$. Эту величину находим по теореме Пифагора из того же прямоугольного треугольника скоростей:

$v_л^2 = v^2 + v_т^2$

Выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{v_л^2 - v_т^2}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$v = \sqrt{(4 \text{ м/с})^2 - (3 \text{ м/с})^2} = \sqrt{16 - 9} \text{ м/с} = \sqrt{7} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v \approx 2.65 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость сложного движения лодки была бы равна $v = \sqrt{7} \approx 2.65$ м/с.