Номер 1556, страница 176 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 55. Равномерное движение по окружности - номер 1556, страница 176.

Решение.

Дано:

Скорость центра колеса $v = 5$ м/с.

Расстояние от точки E до центра колеса $r_E = R/2$, где $\text{R}$ - радиус колеса.

Колесо катится без проскальзывания.

Найти:

Скорости точек $v_A, v_B, v_C, v_D, v_E$ относительно Земли.

Решение:

Движение любой точки катящегося без проскальзывания колеса можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра колеса $\vec{v}$ и вращательного движения вокруг центра колеса с угловой скоростью $\omega$.

Скорость точки, обусловленная вращательным движением ($\vec{v}_{вр}$), направлена по касательной к траектории ее движения вокруг центра и по модулю равна $v_{вр} = \omega r$, где $\text{r}$ — расстояние от точки до центра колеса.

Условие качения без проскальзывания означает, что точка касания с поверхностью (в данном случае точка A) имеет нулевую мгновенную скорость относительно земли. Скорость точки А является векторной суммой поступательной скорости $\vec{v}$ (направленной вправо) и скорости вращения $\vec{v}_{вр, A}$ (направленной влево). Таким образом, их модули должны быть равны: $v = v_{вр, A}$.

Поскольку точка А находится на ободе колеса ($r=R$), ее скорость вращения равна $v_{вр, A} = \omega R$. Следовательно, для качения без проскальзывания выполняется условие $v = \omega R$.

Это означает, что для любой точки на ободе колеса модуль линейной скорости вращения равен скорости центра колеса: $v_{вр, обод} = \omega R = v = 5$ м/с.

Результирующая скорость любой точки колеса относительно Земли находится как векторная сумма поступательной и вращательной скоростей: $\vec{v}_{рез} = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$.

A

Точка А — точка касания колеса с землей. Поступательная скорость $\vec{v}$ направлена вправо, а скорость вращения $\vec{v}_{вр, A}$ направлена влево. Их модули равны.

$v_A = v - v_{вр, A} = v - v = 0$

Ответ: Скорость точки А равна $\text{0}$ м/с.

B

Точка B — верхняя точка колеса. Поступательная скорость $\vec{v}$ и скорость вращения $\vec{v}_{вр, B}$ направлены в одну сторону (вправо). Модуль скорости вращения точки B, как точки на ободе, равен $\text{v}$.

$v_B = v + v_{вр, B} = v + v = 2v = 2 \cdot 5 = 10$ м/с.

Ответ: Скорость точки B равна $10$ м/с и направлена горизонтально вправо.

C

Точка C — крайняя левая точка на ободе колеса. Поступательная скорость $\vec{v}$ направлена вправо, а скорость вращения $\vec{v}_{вр, C}$ направлена вертикально вниз. Модули этих скоростей равны $\text{v}$. Так как векторы скоростей перпендикулярны, модуль результирующей скорости находится по теореме Пифагора.

$v_C = \sqrt{v^2 + v_{вр, C}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ м/с.

Ответ: Скорость точки C равна $5\sqrt{2}$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вниз к горизонту.

D

Точка D — крайняя правая точка на ободе колеса. Поступательная скорость $\vec{v}$ направлена вправо, а скорость вращения $\vec{v}_{вр, D}$ направлена вертикально вверх. Модули этих скоростей равны $\text{v}$. Векторы скоростей перпендикулярны, поэтому модуль результирующей скорости также находится по теореме Пифагора.

$v_D = \sqrt{v^2 + v_{вр, D}^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ м/с.

Ответ: Скорость точки D равна $5\sqrt{2}$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вверх к горизонту.

E

Точка E находится на расстоянии $r_E = R/2$ от центра. Поступательная скорость $\vec{v}$ направлена вправо. Скорость вращения $\vec{v}_{вр, E}$ также направлена вправо, так как точка E находится на вертикальном радиусе над центром. Модуль скорости вращения точки E равен:

$v_{вр, E} = \omega r_E = \omega \frac{R}{2} = \frac{\omega R}{2} = \frac{v}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м/с.

Так как обе скорости сонаправлены, их модули складываются:

$v_E = v + v_{вр, E} = v + \frac{v}{2} = \frac{3}{2}v = \frac{3}{2} \cdot 5 = 7.5$ м/с.

Ответ: Скорость точки E равна $7.5$ м/с и направлена горизонтально вправо.