Номер 1653, страница 191 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 57. Взаимодействие тел. Третий закон Ньютона - номер 1653, страница 191.

Решение.

Дано:

Скорость самолёта $v = 540$ км/ч

Радиус петли $R = 500$ м

Перевод в систему СИ:

$v = 540 \frac{км}{ч} = 540 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 150 \text{ м/с}$

$R = 500$ м

Найти:

Отношение силы, прижимающей лётчика к сиденью, в нижней точке петли ($P_{низ}$) к силе в верхней точке ($P_{верх}$): $\frac{P_{низ}}{P_{верх}}$

Решение:

Сила, с которой лётчик давит на сиденье ($\text{P}$), по третьему закону Ньютона равна по модулю силе реакции опоры ($\text{N}$), действующей со стороны сиденья на лётчика. Эту силу реакции опоры мы и будем находить в верхней и нижней точках траектории.

Движение самолёта по "мёртвой петле" является движением по окружности в вертикальной плоскости. На лётчика действует центростремительное ускорение, направленное к центру окружности и равное по модулю $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

1. Нижняя точка петли.

В этой точке на лётчика действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N_{низ}$, направленная вертикально вверх. Центростремительное ускорение $a_ц$ также направлено вверх, к центру петли. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$N_{низ} - mg = m \cdot a_ц$

$N_{низ} - mg = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции опоры (и сила, прижимающая лётчика к сиденью) в нижней точке:

$P_{низ} = N_{низ} = mg + m\frac{v^2}{R} = m(g + \frac{v^2}{R})$

2. Верхняя точка петли.

В этой точке на лётчика также действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N_{верх}$. Обе эти силы направлены вертикально вниз, к центру петли. Центростремительное ускорение $a_ц$ также направлено вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$N_{верх} + mg = m \cdot a_ц$

$N_{верх} + mg = m \frac{v^2}{R}$

Отсюда сила реакции опоры в верхней точке:

$P_{верх} = N_{верх} = m\frac{v^2}{R} - mg = m(\frac{v^2}{R} - g)$

3. Отношение сил.

Теперь найдём искомое отношение сил:

$\frac{P_{низ}}{P_{верх}} = \frac{m(g + \frac{v^2}{R})}{m(\frac{v^2}{R} - g)} = \frac{g + \frac{v^2}{R}}{\frac{v^2}{R} - g}$

Масса лётчика $\text{m}$ сокращается.

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Сначала вычислим величину центростремительного ускорения:

$a_ц = \frac{v^2}{R} = \frac{(150 \text{ м/с})^2}{500 \text{ м}} = \frac{22500}{500} \text{ м/с}^2 = 45 \text{ м/с}^2$

Теперь подставим это значение в формулу для отношения сил:

$\frac{P_{низ}}{P_{верх}} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 + 45 \text{ м/с}^2}{45 \text{ м/с}^2 - 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{54.8}{35.2} \approx 1.557$

Ответ: сила, прижимающая лётчика к сиденью, в нижней точке петли больше силы, прижимающей лётчика к сиденью, в верхней точке петли примерно в 1,56 раза.