Номер 1715, страница 199 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 60. Потенциальная и кинетическая энергии. Теорема о кинетической энергии. Закон превращения и сохранения механической энергии - номер 1715, страница 199.

Решение.

Дано:

$m_1 = 30$ г

$m_2 = 40$ г

$E_k = 0.7$ Дж

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 30 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.03 \text{ кг}$

$m_2 = 40 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.04 \text{ кг}$

Найти:

$v_1$ - ?

$v_2$ - ?

Направления разлёта - ?

Решение:

Поскольку первоначально мяч был неподвижен, его суммарный импульс до разрыва был равен нулю. В процессе разрыва мяча на два куска можно применить закон сохранения импульса, так как система является замкнутой (внутренние силы, вызвавшие разрыв, значительно превосходят любые внешние силы).

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$0 = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2}$

где $m_1$ и $m_2$ — массы кусков, а $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ — их скорости после разрыва.

Из этого векторного уравнения следует, что $m_1\vec{v_1} = -m_2\vec{v_2}$. Это означает, что векторы скоростей $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Для модулей скоростей справедливо соотношение:

$m_1v_1 = m_2v_2 \quad (1)$

Суммарная кинетическая энергия осколков по условию равна $E_k = 0.7$ Дж. Запишем выражение для кинетической энергии:

$E_k = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$. Выразим $v_2$ из уравнения (1):

$v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$E_k = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2\left(\frac{m_1}{m_2}v_1\right)^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}\frac{m_1^2}{m_2}v_1^2$

Вынесем $\frac{1}{2}v_1^2$ за скобки:

$E_k = \frac{1}{2}v_1^2\left(m_1 + \frac{m_1^2}{m_2}\right) = \frac{1}{2}v_1^2\left(\frac{m_1m_2 + m_1^2}{m_2}\right) = \frac{1}{2}v_1^2\frac{m_1(m_1+m_2)}{m_2}$

Отсюда выразим скорость первого куска $v_1$:

$v_1 = \sqrt{\frac{2E_k m_2}{m_1(m_1+m_2)}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.7 \text{ Дж} \cdot 0.04 \text{ кг}}{0.03 \text{ кг} \cdot (0.03 \text{ кг} + 0.04 \text{ кг})}} = \sqrt{\frac{1.4 \cdot 0.04}{0.03 \cdot 0.07}} = \sqrt{\frac{0.056}{0.0021}} = \sqrt{\frac{560}{21}} = \sqrt{\frac{80}{3}} \approx 5.2 \text{ м/с}$

Теперь найдем скорость второго куска $v_2$ из соотношения (1):

$v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1 = \frac{0.03 \text{ кг}}{0.04 \text{ кг}} \cdot \sqrt{\frac{80}{3}} \text{ м/с} = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{80}{3}} = \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{80}{3}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 80}{16}} = \sqrt{15} \approx 3.9 \text{ м/с}$

Таким образом, куски разлетаются в противоположных направлениях. Кусок с меньшей массой (30 г) имеет большую скорость, а кусок с большей массой (40 г) - меньшую скорость.

Ответ: скорость куска массой 30 г равна приблизительно 5,2 м/с; скорость куска массой 40 г равна приблизительно 3,9 м/с. Куски разлетаются в противоположных направлениях.