Номер 1708, страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 60. Потенциальная и кинетическая энергии. Теорема о кинетической энергии. Закон превращения и сохранения механической энергии - номер 1708, страница 198.

Решение.

Дано:

Масса топлива, $m_т = 0,05$ кг
Масса ракеты без топлива, $m_р = 0,4$ кг
Высота подъема ракеты, $h = 125$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Скорость выброса газов из ракеты, $\text{u}$

Решение:

Задача решается в два этапа. Сначала, используя закон сохранения энергии, мы найдем начальную скорость ракеты сразу после сгорания топлива. Затем, используя закон сохранения импульса, определим скорость выброса газов.

1. Нахождение начальной скорости ракеты ($v_р$).

По условию, сгорание топлива происходит мгновенно. Это означает, что ракета получает начальную скорость у поверхности Земли и далее движется вверх как тело, брошенное вертикально. В верхней точке траектории вся кинетическая энергия ракеты переходит в потенциальную. Запишем закон сохранения механической энергии:

$E_к = E_п$

Кинетическая энергия ракеты массой $m_р$ (уже без топлива) сразу после старта:

$E_к = \frac{m_р v_р^2}{2}$

Потенциальная энергия ракеты на максимальной высоте $\text{h}$:

$E_п = m_р g h$

Приравнивая их, получаем:

$\frac{m_р v_р^2}{2} = m_р g h$

Сократив массу ракеты $m_р$, выразим ее начальную скорость $v_р$:

$v_р = \sqrt{2gh}$

Подставим числовые значения:

$v_р = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 125} = \sqrt{2500} = 50$ м/с.

2. Нахождение скорости выброса газов ($\text{u}$).

Рассмотрим систему "ракета + топливо". До момента старта система покоится, ее суммарный импульс равен нулю. Так как сгорание происходит мгновенно, внешние силы (сила тяжести) не успевают совершить работу, и можно применить закон сохранения импульса. После сгорания топлива ракета движется вверх, а газы — вниз. Суммарный импульс системы остается равным нулю.

$\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$

$0 = m_р \vec{v}_р + m_т \vec{v}_т$

Здесь $\vec{v}_р$ — скорость ракеты, а $\vec{v}_т$ — скорость газов относительно Земли. Спроецируем это уравнение на вертикальную ось, направленную вверх:

$0 = m_р v_р - m_т |v_т|$

Отсюда найдем модуль скорости газов относительно Земли:

$|v_т| = \frac{m_р v_р}{m_т}$

Скорость выброса газов из ракеты $\text{u}$ — это их скорость относительно ракеты. Так как ракета и газы движутся в противоположных направлениях, их относительная скорость равна сумме модулей их скоростей относительно Земли:

$u = |v_р| + |v_т| = v_р + \frac{m_р v_р}{m_т} = v_р \left(1 + \frac{m_р}{m_т}\right)$

Подставим известные значения:

$u = 50 \cdot \left(1 + \frac{0,4}{0,05}\right) = 50 \cdot (1 + 8) = 50 \cdot 9 = 450$ м/с.

Ответ: скорость выброса газов из ракеты равна 450 м/с.