Номер 1704, страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1704, страница 198.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты спутника: $r = 6600 \text{ км}$

Временной интервал: $t = 1 \text{ сутки}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Масса Земли: $M_З \approx 6 \times 10^{24} \text{ кг}$

Перевод в СИ:

$r = 6600 \times 10^3 \text{ м} = 6.6 \times 10^6 \text{ м}$

$t = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Скорость движения спутника $v - ?$

Количество оборотов за сутки $N - ?$

Решение:

Какова скорость его движения?

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая выполняет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу:

$F_{тяг} = F_{цс}$

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $\text{m}$ – масса спутника, $\text{v}$ – его орбитальная скорость, $\text{r}$ – радиус орбиты, $M_З$ – масса Земли, а $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Сократив в уравнении массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, получим выражение для скорости:

$v^2 = G \frac{M_З}{r}$

$v = \sqrt{G \frac{M_З}{r}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{6 \times 10^{24} \text{ кг}}{6.6 \times 10^6 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{6.6 \times 10^6}} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx \sqrt{6.06 \times 10^7} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 7785 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства переведем скорость в километры в секунду: $7785 \text{ м/с} \approx 7.8 \text{ км/с}$.

Ответ: Скорость движения спутника примерно равна $7.8 \text{ км/с}$.

Сколько оборотов вокруг Земли за сутки совершит спутник?

Для нахождения числа оборотов сначала определим период обращения $\text{T}$ – время одного полного оборота спутника вокруг Земли. Длина круговой орбиты равна $L = 2 \pi r$. Период можно найти как отношение длины орбиты к скорости движения:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим значения, используя найденное значение скорости для большей точности ($v \approx 7785 \text{ м/с}$):

$T = \frac{2 \times 3.14 \times 6.6 \times 10^6 \text{ м}}{7785 \text{ м/с}} \approx \frac{41.469 \times 10^6 \text{ м}}{7785 \text{ м/с}} \approx 5327 \text{ с}$

Теперь, зная время одного оборота, найдем количество оборотов $\text{N}$ за время $t = 1 \text{ сутки} = 86400 \text{ с}$:

$N = \frac{t}{T}$

$N = \frac{86400 \text{ с}}{5327 \text{ с}} \approx 16.22$

Ответ: За сутки спутник совершит примерно 16.2 оборота.