Номер 1703, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1703, страница 197.

Решение.

Дано:

Высота орбиты над поверхностью Земли: $h = 4000 \text{ км} = 4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли: $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{v}$ — скорость спутника

$\text{T}$ — период обращения спутника

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, и единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение, удерживая его на орбите. По второму закону Ньютона, сила тяготения равна центростремительной силе:

$F_{\text{тяг}} = F_{\text{цс}}$

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $\text{m}$ — масса спутника, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $M_З$ — масса Земли, а $\text{r}$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $\text{r}$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $\text{h}$:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 4 \cdot 10^6 \text{ м} = 10.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 1.04 \cdot 10^7 \text{ м}$.

Скорость

Из основного уравнения движения можно выразить скорость спутника $\text{v}$. Для этого сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{1.04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{\frac{3.982 \cdot 10^{14}}{1.04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{3.829 \cdot 10^7} \approx 6188 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства представим скорость в километрах в секунду:

$v \approx 6.19 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Ответ: скорость спутника приблизительно равна $6.19 \text{ км/с}$.

Период обращения

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он вычисляется как отношение длины орбиты (длины окружности $L=2\pi r$) к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим вычисленные значения радиуса орбиты и скорости:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 1.04 \cdot 10^7 \text{ м}}{6188 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{6.5345 \cdot 10^7}{6188} \approx 10560 \text{ с}$

Период обращения можно также выразить в часах для наглядности:

$T \approx \frac{10560 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 2.93 \text{ ч}$

Ответ: период обращения спутника составляет примерно $10560 \text{ с}$ (или $2.93$ часа).