Номер 1698, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1698, страница 197.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Средний радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$.

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$.

Переведем все величины в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

Найти:

Массу Земли, $M_З$.

Решение:

Для вычисления массы Земли воспользуемся законом всемирного тяготения и вторым законом Ньютона. Сила гравитационного притяжения, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности Земли, определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, а $R_З$ — радиус Земли.

Эта же сила является силой тяжести, которая, согласно второму закону Ньютона, сообщает телу ускорение свободного падения $\text{g}$:

$F = mg$

Поскольку обе формулы описывают одну и ту же силу, мы можем приравнять их правые части:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Масса тела $\text{m}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому ее можно сократить:

$g = G \frac{M_З}{R_З^2}$

Теперь из этого соотношения выразим массу Земли $M_З$:

$M_З = \frac{g R_З^2}{G}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$M_З = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2} = \frac{9.8 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \frac{\text{м}^3/\text{с}^2}{\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2}$

$M_З = \frac{401.408 \cdot 10^{12}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx 60.18 \cdot 10^{23} \text{ кг}$

Представим результат в стандартном виде:

$M_З \approx 6.02 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: масса Земли, вычисленная на основе данных значений, составляет приблизительно $6.02 \cdot 10^{24}$ кг.