Номер 1696, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1696, страница 197.

Решение.

Дано:

Соотношение масс Земли и Меркурия: $ \frac{M_З}{M_М} = 18.18 $

Соотношение радиусов Земли и Меркурия: $ \frac{R_З}{R_М} = 2.63 $

Ускорение свободного падения на Земле: $ g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $

Найти:

$g_М$ — ускорение свободного падения на Меркурии.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Запишем эту формулу для Земли и для Меркурия:

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

$g_М = G \frac{M_М}{R_М^2}$

Чтобы найти $g_М$, выразим его через известные величины. Для этого разделим уравнение для $g_М$ на уравнение для $g_З$:

$\frac{g_М}{g_З} = \frac{G \frac{M_М}{R_М^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{M_М}{M_З} \cdot \frac{R_З^2}{R_М^2} = \frac{M_М}{M_З} \cdot (\frac{R_З}{R_М})^2$

Из этого соотношения выразим $g_М$:

$g_М = g_З \cdot \frac{M_М}{M_З} \cdot (\frac{R_З}{R_М})^2$

Из условий задачи нам известны обратные соотношения: $\frac{M_З}{M_М} = 18.18$, следовательно, $\frac{M_М}{M_З} = \frac{1}{18.18}$. Также дано, что $\frac{R_З}{R_М} = 2.63$.

Подставим эти значения в формулу для $g_М$:

$g_М = g_З \cdot \frac{1}{18.18} \cdot (2.63)^2$

Подставим численное значение ускорения свободного падения на Земле $g_З \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ и произведем расчет:

$g_М = 9.8 \cdot \frac{1}{18.18} \cdot 6.9169 \approx 9.8 \cdot 0.380467 \approx 3.7285 \, \text{м/с}^2$

Округлим полученный результат до сотых:

$g_М \approx 3.73 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на Меркурии составляет примерно $3.73 \, \text{м/с}^2$.