Номер 1695, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1695, страница 197.

Решение.

Дано:

$M_З = 81 \cdot M_Л$ (масса Земли в 81 раз больше массы Луны)

$R = 60 \cdot R_З$ (расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам)

$F_З = F_Л$ (сила притяжения к Земле равна силе притяжения к Луне)

Найти:

$r_1$ — расстояние от центра Земли, на котором должен находиться предмет.

Решение:

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения, действующая на предмет массой $\text{m}$ со стороны Земли ($F_З$) и Луны ($F_Л$), определяется формулами:

$F_З = G \frac{M_З \cdot m}{r_1^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л \cdot m}{r_2^2}$

где $r_1$ — расстояние от предмета до центра Земли, $r_2$ — расстояние от предмета до центра Луны, а $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Предмет находится на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, поэтому сумма расстояний до них равна расстоянию между ними:

$r_1 + r_2 = R$

Отсюда $r_2 = R - r_1$.

По условию задачи, силы притяжения равны:

$F_З = F_Л$

$G \frac{M_З \cdot m}{r_1^2} = G \frac{M_Л \cdot m}{r_2^2}$

Сократив в уравнении одинаковые множители ($\text{G}$ и $\text{m}$), получим:

$\frac{M_З}{r_1^2} = \frac{M_Л}{r_2^2}$

Подставим в это уравнение данные из условия ($M_З = 81 \cdot M_Л$):

$\frac{81 \cdot M_Л}{r_1^2} = \frac{M_Л}{(R - r_1)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{r_1^2} = \frac{1}{(R - r_1)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как расстояния $r_1$ и $(R - r_1)$ положительны):

$\frac{9}{r_1} = \frac{1}{R - r_1}$

Решим это уравнение относительно $r_1$:

$9 \cdot (R - r_1) = r_1$

$9R - 9r_1 = r_1$

$9R = 10r_1$

$r_1 = \frac{9}{10}R$

Теперь подставим значение расстояния $R = 60 \cdot R_З$:

$r_1 = \frac{9}{10} \cdot (60 \cdot R_З) = 9 \cdot 6 \cdot R_З = 54 \cdot R_З$

Ответ: Предмет должен находиться на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.