Номер 1688, страница 196 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 58. Импульс. Закон сохранения импульса. Реактивное движение - номер 1688, страница 196.

Решение.

Дано:

Масса баржи, $M = 0,4 \text{ т} = 400 \text{ кг}$
Длина баржи, $L = 10 \text{ м}$
Масса первого матроса, $m_1 = 60 \text{ кг}$
Масса второго матроса, $m_2 = 40 \text{ кг}$

Найти:

1. На какое расстояние сместится баржа, $|\Delta x_Б|$?
2. Может ли смещение баржи быть больше её длины?

Решение:

Систему, состоящую из баржи и двух матросов, можно считать замкнутой в горизонтальном направлении, так как в условии сказано о полном штиле, а значит, внешние горизонтальные силы (сопротивление воды, ветер) отсутствуют. Изначально система покоилась, поэтому её суммарный импульс был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, он останется равным нулю и во время движения матросов.

Следствием этого является то, что центр масс системы "баржа + два матроса" не будет изменять своего положения в пространстве. Мы можем использовать этот факт для нахождения смещения баржи.

Введем систему координат, ось $Ox$ которой направлена вдоль баржи. Пусть в начальный момент времени левый конец баржи находится в точке $x=0$. Тогда первый матрос ($m_1$) находится в точке $x_1=0$, а второй матрос ($m_2$) — в точке $x_2=L$. Центр масс однородной баржи находится в её середине, в точке $x_Б = L/2$.

Положение центра масс системы в начальный момент времени:$X_{CM, нач} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + M x_Б}{m_1 + m_2 + M} = \frac{m_1 \cdot 0 + m_2 L + M (L/2)}{m_1 + m_2 + M}$

Матросы движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью относительно баржи, поэтому они встретятся ровно посередине баржи. Пусть баржа за это время сместилась на расстояние $\Delta x_Б$. Тогда в конечный момент времени оба матроса и центр масс баржи окажутся в одной точке с координатой $x_{кон} = L/2 + \Delta x_Б$.

Положение центра масс системы в конечный момент времени:$X_{CM, кон} = \frac{(m_1 + m_2 + M) (L/2 + \Delta x_Б)}{m_1 + m_2 + M} = L/2 + \Delta x_Б$

Так как положение центра масс не меняется, $X_{CM, нач} = X_{CM, кон}$:$\frac{m_2 L + M L/2}{m_1 + m_2 + M} = L/2 + \Delta x_Б$

Выразим отсюда смещение баржи $\Delta x_Б$:$\Delta x_Б = \frac{m_2 L + M L/2}{m_1 + m_2 + M} - \frac{L}{2}$$\Delta x_Б = \frac{m_2 L + M L/2 - (m_1 + m_2 + M) L/2}{m_1 + m_2 + M}$$\Delta x_Б = \frac{m_2 L + M L/2 - m_1 L/2 - m_2 L/2 - M L/2}{m_1 + m_2 + M}$$\Delta x_Б = \frac{(m_2 - m_1) L/2}{m_1 + m_2 + M}$

1. Расчет смещения баржи

Подставим числовые значения в полученную формулу:$\Delta x_Б = \frac{(40 - 60) \cdot 10/2}{60 + 40 + 400} = \frac{-20 \cdot 5}{500} = \frac{-100}{500} = -0,2 \text{ м}$

Знак "минус" указывает на то, что баржа сместилась в сторону, противоположную начальному положению более легкого матроса, то есть в сторону начального положения более тяжелого матроса. Расстояние, на которое сместилась баржа, равно модулю этого значения.

Ответ: Баржа сместится на расстояние 0,2 м.

2. Анализ максимального смещения

Рассмотрим общий случай. Максимальное смещение людей относительно баржи равно её длине $\text{L}$. Например, если бы один матрос массой $\text{m}$ перешел с одного конца баржи на другой. Тогда его смещение относительно баржи составило бы $\text{L}$. Смещение баржи $\Delta x_Б$ можно найти по формуле, вытекающей из закона сохранения положения центра масс:$|\Delta x_Б| = \frac{m \cdot L}{m + M}$где $\text{m}$ — масса перемещающегося объекта (или разница масс, если движение встречное), а $\text{M}$ — масса баржи (и других объектов на ней).

Чтобы смещение баржи $|\Delta x_Б|$ было больше её длины $\text{L}$, должно выполняться условие:$\frac{m \cdot L}{m + M} > L$

Разделив обе части на $\text{L}$ (поскольку $L>0$), получим:$\frac{m}{m + M} > 1$$m > m + M$$0 > M$

Это неравенство невозможно, так как масса баржи $\text{M}$ всегда является положительной величиной. Таким образом, смещение баржи физически не может быть больше её длины. В предельном случае, если бы масса баржи была пренебрежимо мала ($M \to 0$), её смещение стремилось бы к её длине $\text{L}$, но никогда не превысило бы её.

Ответ: Смещение баржи не может быть больше её длины.