Номер 1701, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1701, страница 197.

Решение.

Дано:

Масса Марса $M_М = 0.11 \cdot M_З$

Радиус Марса $R_М = 0.53 \cdot R_З$

где $M_З$ — масса Земли, а $R_З$ — радиус Земли.

Так как в задаче используются относительные величины, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Во сколько раз первая космическая скорость для Марса ($v_М$) меньше первой космической скорости для Земли ($v_З$), то есть найти отношение $\frac{v_З}{v_М}$.

Решение:

Первая космическая скорость для планеты определяется формулой:

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Запишем формулы для первой космической скорости для Земли и Марса:

Для Земли: $v_З = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Для Марса: $v_М = \sqrt{\frac{GM_М}{R_М}}$

Чтобы найти, во сколько раз скорость для Марса меньше, чем для Земли, найдём их отношение $\frac{v_З}{v_М}$:

$\frac{v_З}{v_М} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}}{\sqrt{\frac{GM_М}{R_М}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З} \cdot \frac{R_М}{GM_М}} = \sqrt{\frac{M_З}{M_М} \cdot \frac{R_М}{R_З}}$

Теперь подставим в полученное выражение данные из условия задачи:

$\frac{M_З}{M_М} = \frac{M_З}{0.11 \cdot M_З} = \frac{1}{0.11}$

$\frac{R_М}{R_З} = \frac{0.53 \cdot R_З}{R_З} = 0.53$

Подставим эти значения в формулу для отношения скоростей:

$\frac{v_З}{v_М} = \sqrt{\frac{1}{0.11} \cdot 0.53} = \sqrt{\frac{0.53}{0.11}} \approx \sqrt{4.818} \approx 2.195$

Округляя результат до десятых, получаем, что первая космическая скорость для Марса меньше, чем для Земли, примерно в 2,2 раза.

Ответ: первая космическая скорость для Марса меньше, чем для Земли, примерно в 2,2 раза.