Номер 1702, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1702, страница 197.

Решение.

Дано:

$h = R_З$ — высота над поверхностью Земли

$R_З \approx 6.4 \cdot 10^6$ м — радиус Земли

$g \approx 9.8$ м/с² — ускорение свободного падения у поверхности Земли

Найти:

$\text{v}$ — скорость вращения корабля

Решение:

Для того чтобы космический корабль вращался по круговой орбите, сила гравитационного притяжения Земли должна создавать центростремительное ускорение, то есть быть равной центростремительной силе.

Согласно второму закону Ньютона:

$F_ц = F_g$

Центростремительная сила, действующая на корабль, определяется формулой:

$F_ц = \frac{m v^2}{r}$

Сила гравитационного притяжения корабля к Земле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Здесь $\text{m}$ — масса корабля, $\text{v}$ — его орбитальная скорость, $M_З$ — масса Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{r}$ — радиус орбиты, то есть расстояние от центра Земли до корабля.

По условию, корабль находится на расстоянии от поверхности Земли, равном радиусу Земли $R_З$. Значит, радиус его орбиты $\text{r}$ равен:

$r = R_З + h = R_З + R_З = 2 R_З$

Приравниваем выражения для сил:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M_З m}{r^2}$

Сокращаем массу корабля $\text{m}$ и радиус $\text{r}$ в знаменателе:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда находим скорость:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставляем $r = 2 R_З$:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{2 R_З}}$

Для удобства вычислений воспользуемся тем, что ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$ связано с массой и радиусом Земли соотношением $g = \frac{G M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это в нашу формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{2 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{2}}$

Теперь подставим числовые значения:

$v = \sqrt{\frac{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 м}{2}} = \sqrt{\frac{62.72 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}}{2}} = \sqrt{31.36 \cdot 10^6 \frac{м^2}{с^2}} = 5.6 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

Переведем скорость в километры в секунду:

$5.6 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 5.6 \frac{км}{с}$

Ответ: чтобы вращаться по окружности вокруг Земли на высоте, равной ее радиусу, корабль должен развить скорость примерно $5.6 \frac{км}{с}$.