Номер 1697, страница 197 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1697, страница 197.

Решение.

Дано:

Масса Меркурия, $M = 3.29 \cdot 10^{23}$ кг

Радиус Меркурия, $R = 2420$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Переведем все величины в систему СИ:
$R = 2420 \text{ км} = 2420 \cdot 1000 \text{ м} = 2.42 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Ускорение свободного падения на поверхности Меркурия, $\text{g}$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно найти, используя закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона.

Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ на поверхности планеты, определяется вторым законом Ньютона как:

$F = m \cdot g$

С другой стороны, согласно закону всемирного тяготения, эта же сила притяжения между планетой массой $\text{M}$ и телом массой $\text{m}$ на её поверхности равна:

$F = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}$

где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $\text{M}$ - масса планеты, $\text{R}$ - радиус планеты.

Приравняв правые части этих двух выражений, мы можем связать ускорение свободного падения с параметрами планеты:

$m \cdot g = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$ с обеих сторон уравнения, получим формулу для расчета ускорения свободного падения:

$g = \frac{G \cdot M}{R^2}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$g = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 3.29 \cdot 10^{23} \text{ кг}}{(2.42 \cdot 10^6 \text{ м})^2}$

Выполним вычисления:

$g = \frac{6.67 \cdot 3.29 \cdot 10^{(-11+23)}}{(2.42)^2 \cdot (10^6)^2} \frac{м}{с^2} = \frac{21.9443 \cdot 10^{12}}{5.8564 \cdot 10^{12}} \frac{м}{с^2}$

Степени $10^{12}$ в числителе и знаменателе сокращаются:

$g = \frac{21.9443}{5.8564} \frac{м}{с^2} \approx 3.747 \frac{м}{с^2}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные (масса и радиус) даны с такой точностью.

$g \approx 3.75 \frac{м}{с^2}$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Меркурия составляет примерно $3.75 \frac{м}{с^2}$.