Номер 1705, страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1705, страница 198.

Решение.

Дано:

Среднее расстояние от астероида до Солнца, $r = 1.7 \cdot 10^8$ км

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}$

Масса Солнца, $M \approx 1.989 \cdot 10^{30}$ кг

$r = 1.7 \cdot 10^8 \text{ км} = 1.7 \cdot 10^8 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.7 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Скорость движения астероида, $\text{v}$ - ?

Период обращения астероида, $\text{T}$ - ?

Решение:

Для оценки скорости и периода будем считать, что астероид движется по круговой орбите. В этом случае сила всемирного тяготения, действующая на астероид со стороны Солнца, сообщает ему центростремительное ускорение и является центростремительной силой.

Скорость движения по орбите

Согласно второму закону Ньютона, сила гравитационного притяжения $F_g$ равна произведению массы астероида $\text{m}$ на его центростремительное ускорение $a_c = v^2/r$:

$F_g = m a_c$

По закону всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

Приравняв правые части уравнений, получим:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Отсюда можно выразить скорость $\text{v}$. Сократим массу астероида $\text{m}$ и радиус $\text{r}$:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot 1.989 \cdot 10^{30} кг}{1.7 \cdot 10^{11} м}} \approx \sqrt{\frac{1.327 \cdot 10^{20}}{1.7 \cdot 10^{11}}} \frac{м}{с} \approx \sqrt{7.8 \cdot 10^8} \frac{м}{с} \approx 2.79 \cdot 10^4 \frac{м}{с}$

Для удобства можно перевести скорость в километры в секунду:

$v \approx 27.9 \frac{км}{с}$

Ответ: оценочная скорость движения астероида по орбите составляет $2.79 \cdot 10^4$ м/с или $27.9$ км/с.

Период обращения вокруг Солнца

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое астероид совершает один полный оборот вокруг Солнца. Длина круговой орбиты равна $L = 2 \pi r$. Период связан со скоростью и радиусом орбиты следующим образом:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим известные значения радиуса и вычисленной скорости:

$T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 1.7 \cdot 10^{11} м}{2.79 \cdot 10^4 \frac{м}{с}} \approx \frac{10.68 \cdot 10^{11}}{2.79 \cdot 10^4} с \approx 3.83 \cdot 10^7 с$

Чтобы лучше представить эту величину, переведем ее в земные сутки. В одних сутках $24 \cdot 60 \cdot 60 = 86400$ секунд.

$T \approx \frac{3.83 \cdot 10^7 с}{86400 с/сут} \approx 443$ суток

Это примерно $1.21$ земного года.

Ответ: оценочный период обращения астероида вокруг Солнца составляет $3.83 \cdot 10^7$ с (что примерно равно $443$ суткам или $1.21$ года).