Номер 1706, страница 198 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 59. Закон всемирного тяготения. Ускорение свободного падения. Первая космическая скорость - номер 1706, страница 198.

Решение.

Дано:

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Земли: $M \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Период обращения спутника (равен периоду вращения Земли вокруг своей оси - сидерические сутки): $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:
$T = 23 \cdot 3600 \text{ с} + 56 \cdot 60 \text{ с} + 4 \text{ с} = 82800 \text{ с} + 3360 \text{ с} + 4 \text{ с} = 86164 \text{ с}$

Найти:

$\text{v}$ — скорость спутника
$\text{r}$ — расстояние от спутника до центра Земли

Решение:

Искусственный спутник, который с Земли кажется неподвижным, называется геостационарным. Такой спутник движется по круговой орбите в плоскости земного экватора с той же угловой скоростью, что и Земля. Это означает, что период обращения спутника вокруг Земли равен периоду вращения Земли вокруг своей оси.

На спутник действует единственная сила — сила всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение, необходимое для движения по круговой орбите. По второму закону Ньютона: $F_{тяг} = m \cdot a_ц$

где $F_{тяг}$ — сила тяготения, $\text{m}$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения: $F_{тяг} = G \frac{M m}{r^2}$ где $\text{r}$ — расстояние от спутника до центра Земли.

Центростремительное ускорение выражается через линейную скорость $\text{v}$ и радиус орбиты $\text{r}$: $a_ц = \frac{v^2}{r}$

Приравнивая выражения, получаем: $G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$, получим связь между скоростью и радиусом орбиты: $v^2 = \frac{G M}{r}$ (1)

Скорость движения по окружности также связана с периодом обращения $\text{T}$ и радиусом орбиты $\text{r}$ формулой: $v = \frac{2\pi r}{T}$ (2)

Для решения задачи логично сначала найти расстояние до спутника, а затем его скорость.

Найдите расстояние от спутника до центра Земли.

Подставим выражение для скорости (2) в уравнение (1), чтобы найти радиус орбиты $\text{r}$: $\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{G M}{r}$

Возведем левую часть в квадрат и преобразуем уравнение: $\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M}{r}$
$4\pi^2 r^3 = G M T^2$
$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Отсюда радиус орбиты $\text{r}$: $r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения в СИ: $r = \sqrt[3]{\frac{(6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (5.97 \cdot 10^{24}) \cdot (86164)^2}{4\pi^2}} \approx \sqrt[3]{\frac{(3.98 \cdot 10^{14}) \cdot (7.424 \cdot 10^9)}{39.48}}$

$r \approx \sqrt[3]{7.49 \cdot 10^{22}} \approx 4.22 \cdot 10^7 \text{ м}$

Ответ: расстояние от спутника до центра Земли составляет примерно $4.22 \cdot 10^7$ м (или 42200 км).

Какова скорость спутника?

Зная радиус орбиты $\text{r}$, мы можем вычислить скорость спутника по формуле (2): $v = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим найденное значение $\text{r}$ и известные значения $\pi$ и $\text{T}$: $v = \frac{2\pi \cdot (4.22 \cdot 10^7 \text{ м})}{86164 \text{ с}} \approx \frac{2.65 \cdot 10^8 \text{ м}}{86164 \text{ с}} \approx 3075 \text{ м/с}$

Ответ: скорость спутника составляет примерно $3075$ м/с (или $3.075$ км/с).