Номер 1714, страница 199 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

9 класс. Законы взаимодействия и движения тел. 60. Потенциальная и кинетическая энергии. Теорема о кинетической энергии. Закон превращения и сохранения механической энергии - номер 1714, страница 199.

Решение.

Дано:

$m_1 = 200 \text{ г}$

$m_2 = 300 \text{ г}$

$E_p = 0.5 \text{ Дж}$

Перевод в СИ:
$m_1 = 0.2 \text{ кг}$
$m_2 = 0.3 \text{ кг}$

Найти:

$v_1, v_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух кубиков и пружины. Поскольку трение не учитывается, система является замкнутой по горизонтали. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

В начальном состоянии кубики покоятся, поэтому их суммарный импульс равен нулю. Начальная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины $E_p = 0.5 \text{ Дж}$.

После того как нить пережгут, пружина распрямится и сообщит кубикам кинетическую энергию. Максимальные скорости $v_1$ и $v_2$ кубики будут иметь в тот момент, когда пружина полностью распрямится и ее потенциальная энергия станет равной нулю. В этот момент вся начальная потенциальная энергия пружины перейдет в кинетическую энергию кубиков.

1. Закон сохранения импульса:

Поскольку начальный импульс системы равен нулю, то и конечный импульс системы (после распрямления пружины) также будет равен нулю.

$m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = 0$

В проекции на горизонтальную ось, направленную, например, вправо, получим (кубики разъедутся в разные стороны):

$m_2v_2 - m_1v_1 = 0$

Отсюда находим соотношение между модулями скоростей:

$m_1v_1 = m_2v_2 \implies v_1 = \frac{m_2}{m_1}v_2$ (1)

2. Закон сохранения энергии:

Начальная потенциальная энергия пружины переходит в суммарную кинетическую энергию кубиков:

$E_p = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$ (2)

Теперь решим систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $v_1$ из (1) в (2):

$E_p = \frac{m_1}{2}\left(\frac{m_2v_2}{m_1}\right)^2 + \frac{m_2v_2^2}{2}$

$E_p = \frac{m_1m_2^2v_2^2}{2m_1^2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

$E_p = \frac{m_2^2v_2^2}{2m_1} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$E_p = \frac{m_2v_2^2}{2}\left(\frac{m_2}{m_1} + 1\right) = \frac{m_2v_2^2}{2}\left(\frac{m_2 + m_1}{m_1}\right)$

Выразим отсюда $v_2^2$:

$v_2^2 = \frac{2E_p m_1}{m_2(m_1+m_2)}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2E_p m_1}{m_2(m_1+m_2)}}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.5 \text{ Дж} \cdot 0.2 \text{ кг}}{0.3 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ кг} + 0.3 \text{ кг})}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.3 \cdot 0.5}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.15}} = \sqrt{\frac{20}{15}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15 \text{ м/с}$

Теперь найдем скорость $v_1$ с помощью уравнения (1):

$v_1 = \frac{m_2}{m_1}v_2 = \frac{0.3 \text{ кг}}{0.2 \text{ кг}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ м/с} = 1.5 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ м/с} = \frac{3}{\sqrt{3}} \text{ м/с} = \sqrt{3} \text{ м/с} \approx 1.73 \text{ м/с}$

Ответ: Максимальная скорость кубика массой 200 г равна $v_1 = \sqrt{3} \text{ м/с} \approx 1.73 \text{ м/с}$; максимальная скорость кубика массой 300 г равна $v_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ м/с} \approx 1.15 \text{ м/с}$.