Номер 1085, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1085, страница 276.

Условие.

1085 Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство основано на свойстве центра правильного многоугольника. У любого правильного $n$-угольника существует центр $O$, который является центром его вписанной и описанной окружностей. Эта точка равноудалена от всех вершин и от всех сторон многоугольника.

Рассмотрим произвольную сторону многоугольника, например, $A_k A_{k+1}$. По определению центра правильного многоугольника, точка $O$ равноудалена от вершин $A_k$ и $A_{k+1}$, то есть $OA_k = OA_{k+1}$ (как радиусы описанной окружности). Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $A_k A_{k+1}$.

Поскольку это рассуждение верно для любой стороны, то серединный перпендикуляр к каждой стороне правильного многоугольника проходит через его центр $O$.

Теперь рассмотрим два серединных перпендикуляра, $m_1$ и $m_2$, к двум произвольным сторонам правильного многоугольника. Как мы установили, обе эти прямые проходят через одну и ту же точку — центр $O$.

Две прямые на плоскости, имеющие общую точку, могут либо пересекаться в этой точке, либо совпадать (быть одной и той же прямой). Они не могут быть параллельными и различными. Следовательно, прямые $m_1$ и $m_2$ либо пересекаются в точке $O$, либо совпадают.

Таким образом, доказано, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Ответ: Утверждение доказано. Все серединные перпендикуляры к сторонам правильного многоугольника проходят через его центр, поэтому любые два из них либо пересекаются в этой точке, либо совпадают.