Номер 1088, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1088, страница 277.

Условие.

1088 На рисунке 311, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки ($a_3$ — сторона треугольника, $P$ — периметр треугольника, $S$ — его площадь, $r$ — радиус вписанной окружности).

$N$ | $R$ | $r$ | $a_3$ | $P$ | $S$

1 | 3 | | | |

2 | | | | | 10

3 | | 2 | | |

4 | | | 5 | |

5 | | | | 6 |

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для заполнения таблицы необходимо использовать формулы, связывающие параметры правильного (равностороннего) треугольника: сторону ($a_3$), радиус вписанной окружности ($r$), радиус описанной окружности ($R$), периметр ($P$) и площадь ($S$).

Основные формулы:

• Связь между радиусами вписанной и описанной окружностей: $R = 2r$
• Сторона треугольника через радиус описанной окружности: $a_3 = R\sqrt{3}$
• Сторона треугольника через радиус вписанной окружности: $a_3 = 2r\sqrt{3}$
• Периметр треугольника: $P = 3a_3$
• Площадь треугольника через сторону: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$
• Площадь треугольника через радиус описанной окружности: $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$
• Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: $S = 3r^2\sqrt{3}$

Решим задачу для каждой строки таблицы.

1

Дано: радиус описанной окружности $R = 3$.
1. Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$
2. Находим сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
3. Находим периметр $P$:
$P = 3a_3 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$
4. Находим площадь $S$:
$S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \cdot 3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $r=1.5$; $a_3 = 3\sqrt{3}$; $P = 9\sqrt{3}$; $S = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

2

Дано: площадь треугольника $S = 10$.
1. Из формулы площади $S = 3r^2\sqrt{3}$ найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r^2 = \frac{S}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{9}$
$r = \sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{9}} = \frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$
2. Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = 2r = \frac{2\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$
3. Находим сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{30\sqrt{3}}}{3}$
Для упрощения можно использовать другую формулу: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \implies a_3^2 = \frac{4S}{\sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$, откуда $a_3 = \sqrt{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.
4. Находим периметр $P$:
$P = 3a_3 = 3 \cdot 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$; $r = \frac{\sqrt{10\sqrt{3}}}{3}$; $a_3 = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$; $P = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

3

Дано: радиус вписанной окружности $r=2$.
1. Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = 2r = 2 \cdot 2 = 4$
2. Находим сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
3. Находим периметр $P$:
$P = 3a_3 = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$
4. Находим площадь $S$:
$S = 3r^2\sqrt{3} = 3 \cdot 2^2 \sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

Ответ: $R=4$; $a_3 = 4\sqrt{3}$; $P = 12\sqrt{3}$; $S = 12\sqrt{3}$.

4

Дано: сторона треугольника $a_3=5$.
1. Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
2. Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$
3. Находим периметр $P$:
$P = 3a_3 = 3 \cdot 5 = 15$
4. Находим площадь $S$:
$S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $R=\frac{5\sqrt{3}}{3}$; $r=\frac{5\sqrt{3}}{6}$; $P=15$; $S=\frac{25\sqrt{3}}{4}$.

5

Дано: периметр $P=6$.
1. Находим сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = \frac{P}{3} = \frac{6}{3} = 2$
2. Находим радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
4. Находим площадь $S$:
$S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Ответ: $R=\frac{2\sqrt{3}}{3}$; $r=\frac{\sqrt{3}}{3}$; $a_3=2$; $S=\sqrt{3}$.