Номер 1093, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1093, страница 277.

Условие.

1093 Около правильного треугольника описана окружность радиуса $R$. Докажите, что $R = 2r$, где $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. Обозначим его вершины как $A, B, C$.

В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим этот общий центр буквой $O$. Эта точка также является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника.

Радиус $R$ описанной окружности по определению равен расстоянию от центра окружности $O$ до любой из вершин треугольника. Таким образом, $R = OA = OB = OC$.

Радиус $r$ вписанной окружности по определению равен расстоянию от центра окружности $O$ до любой из сторон треугольника. Проведем высоту из вершины $A$ к стороне $BC$ и обозначим ее основание буквой $H$. В правильном треугольнике высота $AH$ является также медианой и биссектрисой. Отрезок $OH$ является перпендикуляром, опущенным из центра на сторону $BC$, следовательно, его длина равна радиусу вписанной окружности: $r = OH$.

Так как точка $O$ является точкой пересечения медиан треугольника (центроидом), она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $AH$ это свойство записывается как: $\frac{AO}{OH} = \frac{2}{1}$

Заменим в этом выражении отрезок $AO$ на радиус описанной окружности $R$, а отрезок $OH$ на радиус вписанной окружности $r$: $\frac{R}{r} = 2$

Отсюда напрямую следует, что $R = 2r$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $R = 2r$, доказано.