Номер 1100, страница 278 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1100, страница 278.

Условие.

1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите:

а) правильный шестиугольник;

б) правильный треугольник;

в) квадрат;

г) правильный восьмиугольник.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) правильный шестиугольник

Для построения правильного шестиугольника, вписанного в окружность, необходимо выполнить следующие действия. Свойство правильного шестиугольника заключается в том, что его сторона равна радиусу описанной окружности.

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
2. Выберите на окружности произвольную точку $A_1$, которая будет одной из вершин шестиугольника.
3. Установите раствор циркуля равным радиусу окружности $R$.
4. Поместите острие циркуля в точку $A_1$ и проведите дугу, пересекающую окружность. Обозначьте точку пересечения как $A_2$.
5. Переместите острие циркуля в точку $A_2$ и, не меняя раствора, проведите еще одну дугу, пересекающую окружность в точке $A_3$.
6. Продолжайте этот процесс, последовательно находя точки $A_4$, $A_5$, $A_6$. Дуга, проведенная из точки $A_6$, должна пересечь окружность в исходной точке $A_1$.
7. С помощью линейки соедините последовательно точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ отрезками.

Полученный многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ является искомым правильным шестиугольником.

Ответ: Построен правильный шестиугольник, вписанный в данную окружность.

б) правильный треугольник

Чтобы вписать в окружность правильный треугольник, можно сначала построить правильный шестиугольник, а затем соединить его вершины через одну.

1. Выполните построение правильного шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, как описано в пункте а).
2. С помощью линейки соедините отрезками вершины через одну, например, $A_1$ с $A_3$, $A_3$ с $A_5$, и $A_5$ с $A_1$.

Полученный треугольник $A_1A_3A_5$ является искомым правильным (равносторонним) треугольником.

Ответ: Построен правильный треугольник, вписанный в данную окружность.

в) квадрат

Квадрат, вписанный в окружность, имеет диагонали, которые являются перпендикулярными диаметрами этой окружности.

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$.
2. С помощью линейки проведите через центр $O$ произвольный диаметр. Обозначьте его концы как $A$ и $C$.
3. Постройте второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
   • Установите раствор циркуля на расстояние, заведомо большее радиуса окружности.
   • Проведите две дуги с центром в точке $A$ (по обе стороны от диаметра $AC$).
   • Не меняя раствора циркуля, проведите две дуги с центром в точке $C$ так, чтобы они пересекли предыдущие две дуги.
   • Через полученные точки пересечения дуг проведите прямую с помощью линейки. Эта прямая пройдет через центр $O$ и будет перпендикулярна $AC$.
4. Обозначьте точки пересечения этой прямой с окружностью как $B$ и $D$.
5. Последовательно соедините точки $A, B, C, D$ отрезками.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Ответ: Построен квадрат, вписанный в данную окружность.

г) правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник можно построить, вписав в окружность квадрат и затем разделив пополам дуги, стягиваемые его сторонами.

1. Выполните построение квадрата $ABCD$, вписанного в окружность, как описано в пункте в). При этом будут построены два взаимно перпендикулярных диаметра $AC$ и $BD$.
2. Теперь необходимо построить биссектрисы прямых углов, образованных этими диаметрами.
   • Для построения биссектрисы угла $\angle AOB$, установите циркуль на произвольный раствор и проведите дугу с центром в точке $O$, которая пересечет отрезки $OA$ и $OB$ в точках $M$ и $N$.
   • Из точек $M$ и $N$ проведите две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись.
   • Проведите луч из точки $O$ через точку пересечения этих дуг. Точка пересечения этого луча с окружностью будет новой вершиной восьмиугольника. Обозначим ее $E$.
3. Повторите процедуру построения биссектрис для углов $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$, чтобы найти остальные вершины $F, G, H$.
4. В качестве альтернативы можно построить серединные перпендикуляры к сторонам квадрата $AB, BC, CD, DA$. Точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью дадут недостающие вершины.
5. Последовательно соедините все восемь вершин $A, E, B, F, C, G, D, H$ отрезками.

Полученный многоугольник $AEBFCGDH$ является искомым правильным восьмиугольником.

Ответ: Построен правильный восьмиугольник, вписанный в данную окружность.