Номер 1097, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1097, страница 277.

Условие.

1097 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть данная окружность имеет радиус $R$. Нам нужно найти отношение площади правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность ($S_{вп}$), к площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности ($S_{оп}$).

1. Найдем площадь вписанного шестиугольника ($S_{вп}$).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. У вписанного в окружность шестиугольника вершины лежат на окружности, а его большая диагональ является диаметром окружности. Сторона такого шестиугольника ($a_{вп}$) равна радиусу описанной около него окружности. В нашем случае это радиус $R$.

$a_{вп} = R$

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставим сторону вписанного шестиугольника в формулу площади:

$S_{вп} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем площадь описанного шестиугольника ($S_{оп}$).

У описанного около окружности шестиугольника стороны касаются окружности. Радиус окружности $R$ для этого шестиугольника является радиусом вписанной окружности, то есть апофемой. Связь между стороной правильного шестиугольника ($a_{оп}$) и его апофемой ($r$) выражается формулой: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $r=R$, следовательно:

$R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$

Выразим отсюда сторону описанного шестиугольника:

$a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Теперь вычислим площадь описанного шестиугольника:

$S_{оп} = \frac{3a_{оп}^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\left(\frac{4R^2}{3}\right)\sqrt{3}}{2} = \frac{4R^2\sqrt{3}}{2} = 2R^2\sqrt{3}$

3. Найдем отношение площадей.

Теперь найдем искомое отношение площади вписанного шестиугольника к площади описанного:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}{2R^2\sqrt{3}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2 \cdot 2R^2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$

Отношение не зависит от радиуса окружности и равно 3:4.

Альтернативное решение через подобие:

Два правильных шестиугольника всегда подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия можно найти как отношение их соответствующих линейных размеров, например, сторон.

Сторона вписанного шестиугольника: $a_{вп} = R$.

Сторона описанного шестиугольника: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон:

$k = \frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = k^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$