Номер 1096, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1096, страница 277.

Условие.

1096 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Обозначим длину стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника как $a$, так как по условию задачи они равны.

Найдем площадь каждой из этих фигур.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника ($S_3$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь квадрата ($S_4$) со стороной $a$ равна: $S_4 = a^2$.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести правильных треугольников со стороной $a$. Следовательно, его площадь ($S_6$) равна: $S_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем отношение площадей этих многоугольников $S_3 : S_4 : S_6$: $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} : a^2 : \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Для упрощения этого выражения сначала разделим все его части на общий множитель $a^2$: $\frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Далее, чтобы избавиться от дробей, умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 2), то есть на 4: $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 : 1 \cdot 4 : \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4$.

В результате получаем искомое отношение: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$.