Номер 1095, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1095, страница 277.

Условие.

1095 □ Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Основание головки болта представляет собой правильный шестиугольник. Расстояние между его параллельными сторонами, равное по условию $1,5$ см, представляет собой удвоенный радиус вписанной в шестиугольник окружности. Этот радиус также называют апофемой.

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности (апофема). Тогда удвоенный радиус равен $1,5$ см:

$2r = 1,5$ см

Отсюда находим апофему:

$r = \frac{1,5}{2} = 0,75$ см

Площадь правильного шестиугольника $S$ можно найти, зная его апофему. Сначала выразим сторону шестиугольника $a$ через апофему $r$. Для правильного шестиугольника справедливо соотношение:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Выразим отсюда сторону $a$:

$a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 0,75}{\sqrt{3}} = \frac{1,5}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь воспользуемся формулой для площади правильного шестиугольника через его сторону $a$:

$S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1,5^2}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2,25}{3}$

Сократим дробь на 3 и выполним умножение:

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2,25 = 1,125\sqrt{3}$ см².

Также можно использовать готовую формулу площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности $r$:

$S = 2\sqrt{3}r^2$

Подставим значение $r = 0,75$ см:

$S = 2\sqrt{3} \cdot (0,75)^2 = 2\sqrt{3} \cdot 0,5625 = 1,125\sqrt{3}$ см².

Оба способа дают одинаковый результат. В виде обыкновенной дроби ответ можно записать как $\frac{9\sqrt{3}}{8}$ см².

Ответ: $1,125\sqrt{3}$ см².