Номер 1098, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1098, страница 277.

Условие.

1098 ☐ Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника:

а) через радиус вписанной окружности;

б) через радиус описанной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $a$ – сторона правильного треугольника, $P$ – его периметр, $S$ – его площадь.

а) через радиус вписанной окружности

Пусть $r$ – радиус вписанной окружности. Для правильного (равностороннего) треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Выразим сторону $a$ через $r$:
$a = 2\sqrt{3}r$

Теперь найдем периметр $P$. Периметр правильного треугольника равен утроенной длине его стороны:
$P = 3a = 3 \cdot (2\sqrt{3}r) = 6\sqrt{3}r$

Далее найдем площадь $S$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим выражение для стороны $a$:
$S = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$

Ответ: Сторона $a = 2\sqrt{3}r$, периметр $P = 6\sqrt{3}r$, площадь $S = 3\sqrt{3}r^2$.

б) через радиус описанной окружности

Пусть $R$ – радиус описанной окружности. Для правильного треугольника радиус описанной окружности связан со стороной формулой, вытекающей из теоремы синусов:
$\frac{a}{\sin(60^\circ)} = 2R$
Выразим сторону $a$ через $R$:
$a = 2R \cdot \sin(60^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

Теперь найдем периметр $P$:
$P = 3a = 3 \cdot (R\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}R$

Далее найдем площадь $S$, используя формулу $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:
$S = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R^2 \cdot 3)\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Ответ: Сторона $a = R\sqrt{3}$, периметр $P = 3\sqrt{3}R$, площадь $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.