Номер 1102, страница 282 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1102, страница 282.

Условие.

1102 Как изменится длина окружности, если радиус окружности:

а) увеличить в три раза;

б) уменьшить в два раза;

в) увеличить в $k$ раз;

г) уменьшить в $k$ раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от её радиуса. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности.

а) Пусть первоначальный радиус равен $r_1$, тогда первоначальная длина окружности $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус увеличить в три раза, то новый радиус $r_2$ будет равен $3r_1$. Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (3r_1) = 3 \cdot (2\pi r_1) = 3C_1$. Таким образом, длина окружности увеличится в три раза.
Ответ: увеличится в три раза.

б) Пусть первоначальный радиус равен $r_1$, а длина окружности $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус уменьшить в два раза, то новый радиус $r_2$ будет равен $\frac{r_1}{2}$. Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{2}\right) = \frac{2\pi r_1}{2} = \frac{C_1}{2}$. Таким образом, длина окружности уменьшится в два раза.
Ответ: уменьшится в два раза.

в) Пусть первоначальный радиус равен $r_1$, а длина окружности $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус увеличить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $k \cdot r_1$. Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (k \cdot r_1) = k \cdot (2\pi r_1) = kC_1$. Таким образом, длина окружности увеличится в $k$ раз.
Ответ: увеличится в $k$ раз.

г) Пусть первоначальный радиус равен $r_1$, а длина окружности $C_1 = 2\pi r_1$. Если радиус уменьшить в $k$ раз, то новый радиус $r_2$ будет равен $\frac{r_1}{k}$. Новая длина окружности $C_2$ будет равна $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{k}\right) = \frac{2\pi r_1}{k} = \frac{C_1}{k}$. Таким образом, длина окружности уменьшится в $k$ раз.
Ответ: уменьшится в $k$ раз.