Номер 1099, страница 278 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1099, страница 278.

Условие.

1099 Правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ вписан в окружность радиуса $R$. Докажите, что четырёхугольник $A_3A_4A_7A_8$ является прямоугольником, и выразите его площадь через $R$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что четырехугольник $A_3A_4A_7A_8$ является прямоугольником

Пусть $O$ — центр окружности радиуса $R$, в которую вписан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$. Поскольку восьмиугольник правильный, то все его стороны равны и стягивают равные дуги. Центральный угол, опирающийся на каждую из сторон восьмиугольника, равен $360^\circ / 8 = 45^\circ$.

Рассмотрим диагонали четырехугольника $A_3A_4A_7A_8$: отрезки $A_3A_7$ и $A_4A_8$. Найдем величину центрального угла $\angle A_3OA_7$. Этот угол опирается на дугу $A_3A_4A_5A_6A_7$, которая состоит из четырех дуг, стягиваемых сторонами восьмиугольника ($A_3A_4$, $A_4A_5$, $A_5A_6$ и $A_6A_7$). Следовательно, величина угла $\angle A_3OA_7 = 4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$. Так как угол развернутый, точки $A_3$, $O$ и $A_7$ лежат на одной прямой. Это означает, что диагональ $A_3A_7$ является диаметром окружности.

Аналогично найдем величину центрального угла $\angle A_4OA_8$. Он опирается на дугу $A_4A_5A_6A_7A_8$, состоящую также из четырех дуг, стягиваемых сторонами. Следовательно, $\angle A_4OA_8 = 4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$. Значит, диагональ $A_4A_8$ также является диаметром окружности.

Таким образом, диагонали четырехугольника $A_3A_4A_7A_8$ равны между собой (обе равны диаметру $2R$) и в точке пересечения (центре окружности $O$) делятся пополам. Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

выразите его площадь через R

Площадь выпуклого четырехугольника может быть найдена по формуле через его диагонали и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$.

Как было доказано, диагоналями прямоугольника $A_3A_4A_7A_8$ являются диаметры $A_3A_7$ и $A_4A_8$. Следовательно, их длины $d_1 = d_2 = 2R$. Углом $\alpha$ между диагоналями является, например, центральный угол $\angle A_3OA_4$. Этот угол опирается на одну сторону правильного восьмиугольника, поэтому его величина $\alpha = 45^\circ$.

Подставим известные значения в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot (2R) \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R^2\sqrt{2}$.

Ответ: $R^2\sqrt{2}$.