Номер 1094, страница 277 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1094, страница 277.

Условие.

1094. Найдите площадь $S$ правильного $n$-угольника, если:

а) $n=4$, $R=3\sqrt{2}\text{ см}$;

б) $n=3$, $P=24\text{ см}$;

в) $n=6$, $r=9\text{ см}$;

г) $n=8$, $r=5\sqrt{3}\text{ см}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Дан правильный четырехугольник (квадрат), у которого число сторон $n=4$, а радиус описанной окружности $R = 3\sqrt{2}$ см.

Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле, связывающей площадь с радиусом описанной окружности:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right) = 2 \cdot (9 \cdot 2) \cdot \sin(90^\circ)$

Так как $\sin(90^\circ) = 1$, получаем:

$S = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36$ см$^2$.

Ответ: $S = 36$ см$^2$.

б)

Дан правильный треугольник, у которого число сторон $n=3$, а периметр $P = 24$ см.

Сначала найдем длину стороны треугольника $a$:

$a = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$ см.

Площадь правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a=8$ см:

$S = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $S = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дан правильный шестиугольник, у которого число сторон $n=6$, а радиус вписанной окружности $r = 9$ см.

Площадь правильного n-угольника можно найти по формуле, связывающей площадь с радиусом вписанной окружности:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим известные значения в формулу:

$S = 6 \cdot 9^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 6 \cdot 81 \cdot \tan(30^\circ)$

Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$S = 486 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{486}{\sqrt{3}} = \frac{486\sqrt{3}}{3} = 162\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $S = 162\sqrt{3}$ см$^2$.

г)

Дан правильный восьмиугольник, у которого число сторон $n=8$, а радиус вписанной окружности $r = 5\sqrt{3}$ см.

Воспользуемся формулой площади правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим известные значения:

$S = 8 \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 8 \cdot (25 \cdot 3) \cdot \tan(22.5^\circ) = 8 \cdot 75 \cdot \tan(22.5^\circ) = 600 \tan(22.5^\circ)$

Найдем значение $\tan(22.5^\circ)$, используя формулу тангенса половинного угла $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$ для $\alpha = 45^\circ$:

$\tan(22.5^\circ) = \frac{1 - \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$

Теперь подставим найденное значение тангенса в формулу для площади:

$S = 600 \cdot (\sqrt{2}-1)$ см$^2$.

Ответ: $S = 600(\sqrt{2}-1)$ см$^2$.