Номер 1087, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1087, страница 276.

Условие.

1087 На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки ($a_4$ — сторона квадрата, $P$ — периметр квадрата, $S$ — его площадь, $r$ — радиус вписанной окружности).

N $R$ $r$ $a_4$ $P$ $S$

1 6

2 2

3 4

4 28

5 16

а) б) Рис. 311

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи необходимо знать формулы, связывающие сторону квадрата ($a_4$) с радиусом вписанной окружности ($r$), радиусом описанной окружности ($R$), периметром ($P$) и площадью ($S$).

• Сторона квадрата и радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_4}{2}$ или $a_4 = 2r$.
• Сторона квадрата и радиус описанной окружности: Диагональ квадрата $d = 2R$. По теореме Пифагора $d^2 = a_4^2 + a_4^2 = 2a_4^2$, значит $d = a_4\sqrt{2}$. Следовательно, $2R = a_4\sqrt{2}$, откуда $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$ или $a_4 = R\sqrt{2}$.
• Периметр квадрата: $P = 4a_4$.
• Площадь квадрата: $S = a_4^2$.

Используя эти формулы, заполним пустые ячейки в таблице для каждой строки.

1. Дано: сторона квадрата $a_4 = 6$.
Находим остальные величины:
Периметр: $P = 4a_4 = 4 \cdot 6 = 24$.
Площадь: $S = a_4^2 = 6^2 = 36$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $R=3\sqrt{2}$, $r=3$, $P=24$, $S=36$.

2. Дано: радиус вписанной окружности $r = 2$.
Находим остальные величины:
Сторона квадрата: $a_4 = 2r = 2 \cdot 2 = 4$.
Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Периметр: $P = 4a_4 = 4 \cdot 4 = 16$.
Площадь: $S = a_4^2 = 4^2 = 16$.
Ответ: $R=2\sqrt{2}$, $a_4=4$, $P=16$, $S=16$.

3. Дано: радиус описанной окружности $R = 4$.
Находим остальные величины:
Сторона квадрата: $a_4 = R\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_4}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Периметр: $P = 4a_4 = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.
Площадь: $S = a_4^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$.
Ответ: $r=2\sqrt{2}$, $a_4=4\sqrt{2}$, $P=16\sqrt{2}$, $S=32$.

4. Дано: периметр квадрата $P = 28$.
Находим остальные величины:
Сторона квадрата: $a_4 = \frac{P}{4} = \frac{28}{4} = 7$.
Площадь: $S = a_4^2 = 7^2 = 49$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.
Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $R=\frac{7\sqrt{2}}{2}$, $r=3.5$, $a_4=7$, $S=49$.

5. Дано: площадь квадрата $S = 16$.
Находим остальные величины:
Сторона квадрата: $a_4 = \sqrt{S} = \sqrt{16} = 4$.
Периметр: $P = 4a_4 = 4 \cdot 4 = 16$.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_4}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $R=2\sqrt{2}$, $r=2$, $a_4=4$, $P=16$.