Номер 1080, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1080, страница 276.

Условие.

1080 Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

По определению, правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

Рассмотрим произвольный правильный четырёхугольник. Согласно определению, у него должны быть равны все стороны и все углы.

1. Равенство сторон. Пусть длина одной стороны равна $a$. Тогда все четыре стороны этого четырёхугольника равны $a$.

2. Равенство углов. Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^\circ$.

Для четырёхугольника $n=4$, поэтому сумма его углов равна: $S_4 = (4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Поскольку в правильном четырёхугольнике все четыре угла равны, то величина каждого угла составляет: $\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Таким образом, мы имеем четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны $90^\circ$ (то есть являются прямыми).

По определению, квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Следовательно, любой правильный четырёхугольник является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как правильный четырёхугольник по определению имеет равные стороны и равные углы, а сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то каждый его угол равен $90^\circ$. Четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами является квадратом.