Номер 1078, страница 276 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники - номер 1078, страница 276.

Условие.

1078 Верно ли утверждение:

а) любой правильный многоугольник является выпуклым;

б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а) Да, это утверждение верно.
Выпуклым называется многоугольник, все внутренние углы которого меньше $180^\circ$. У правильного n-угольника все углы равны, и величина каждого внутреннего угла $\alpha$ вычисляется по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $, где $n$ — количество сторон ($ n \ge 3 $).
Выражение для угла можно преобразовать: $ \alpha = \frac{n \cdot 180^\circ - 360^\circ}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n} $.
Так как для любого многоугольника $ n \ge 3 $, дробь $ \frac{360^\circ}{n} $ всегда положительна. Следовательно, величина угла $\alpha$ всегда строго меньше $180^\circ$.
Поскольку все внутренние углы правильного многоугольника меньше $180^\circ$, любой правильный многоугольник является выпуклым.
Ответ: утверждение верно.

б) Нет, это утверждение неверно.
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Выпуклый многоугольник не обязан удовлетворять условиям равенства всех сторон и всех углов.
Для опровержения утверждения достаточно привести контрпример. Например, прямоугольник со сторонами 5 см и 8 см.
Этот многоугольник является выпуклым, так как все его внутренние углы равны $90^\circ$, что меньше $180^\circ$.
Однако он не является правильным, так как его стороны не равны между собой ($5 \text{ см} \neq 8 \text{ см}$).
Следовательно, не любой выпуклый многоугольник является правильным.
Ответ: утверждение неверно.