Номер 1072, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1072, страница 268.

Условие.

1072 □ Дан ромб $MNPQ$. Отрезок $MF$ — биссектриса треугольника $MPQ$, $\angle NMQ = 4\alpha$, $FQ = a$. Найдите площадь данного ромба.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть MNPQ — данный ромб. Так как все стороны ромба равны, то $MQ = PQ$. Следовательно, треугольник MPQ является равнобедренным с основанием MP. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны, значит $\angle PMQ = \angle MPQ$.

Диагональ MP является биссектрисой угла ромба $\angle NMQ$. По условию, $\angle NMQ = 4\alpha$, поэтому $\angle PMQ = \frac{1}{2} \angle NMQ = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha$.

Из равенства углов при основании треугольника MPQ следует, что $\angle MPQ = \angle PMQ = 2\alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle MQP$ вычисляется как:$\angle MQP = 180^\circ - (\angle PMQ + \angle MPQ) = 180^\circ - (2\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$.

По условию, MF — биссектриса треугольника MPQ. Так как отрезок исходит из вершины M, он делит угол $\angle PMQ$ пополам:$\angle FMQ = \frac{1}{2} \angle PMQ = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Рассмотрим треугольник MFQ. Найдем его углы:$\angle FMQ = \alpha$,$\angle FQM = \angle MQP = 180^\circ - 4\alpha$,$\angle MFQ = 180^\circ - (\angle FMQ + \angle FQM) = 180^\circ - (\alpha + 180^\circ - 4\alpha) = 3\alpha$.

Применим к треугольнику MFQ теорему синусов. Зная, что $FQ = a$, найдем сторону ромба $MQ$:$\frac{MQ}{\sin(\angle MFQ)} = \frac{FQ}{\sin(\angle FMQ)}$

$\frac{MQ}{\sin(3\alpha)} = \frac{a}{\sin(\alpha)}$

$MQ = \frac{a \sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Площадь ромба находится по формуле $S = s^2 \sin(\beta)$, где $s$ — сторона ромба, а $\beta$ — угол между сторонами. В данном случае $s = MQ$ и $\beta = \angle NMQ = 4\alpha$.$S = (MQ)^2 \sin(\angle NMQ) = \left(\frac{a \sin(3\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)^2 \sin(4\alpha) = a^2 \frac{\sin^2(3\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \sin(4\alpha)$.

Ответ: $a^2 \frac{\sin^2(3\alpha)}{\sin^2(\alpha)} \sin(4\alpha)$.