Номер 1068, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1068, страница 268.

Условие.

1068 □ При каком значении $x$ векторы $\vec{p} = x\vec{a} + 17\vec{b}$ и $\vec{q} = 3\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, если $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=5$ и $ab = 120^\circ$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Условие перпендикулярности векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ записывается как:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

Подставим в это уравнение выражения для векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:

$(x\vec{a} + 17\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$x\vec{a} \cdot 3\vec{a} - x\vec{a} \cdot \vec{b} + 17\vec{b} \cdot 3\vec{a} - 17\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$3x(\vec{a} \cdot \vec{a}) - x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 51(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 17(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

Используем свойства, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$, $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, и сгруппируем слагаемые:

$3x|\vec{a}|^2 + (51 - x)(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 17|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и квадраты модулей векторов, используя данные из условия: $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=5$ и угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 2 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$

Квадраты модулей:

$|\vec{a}|^2 = 2^2 = 4$

$|\vec{b}|^2 = 5^2 = 25$

Подставим эти значения в наше уравнение:

$3x \cdot 4 + (51 - x) \cdot (-5) - 17 \cdot 25 = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$12x - 255 + 5x - 425 = 0$

$17x - 680 = 0$

$17x = 680$

$x = \frac{680}{17}$

$x = 40$

Ответ: $40$.