Номер 1065, страница 268 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1065, страница 268.

Условие.

1065 ◻ Докажите, что треугольник с вершинами $A(3; 0)$, $B(1; 5)$ и $C(2; 1)$ тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для того чтобы доказать, что треугольник является тупоугольным, и найти косинус тупого угла, мы сначала найдем длины (а точнее, их квадраты) всех сторон треугольника, а затем воспользуемся следствием из теоремы косинусов.

Даны вершины треугольника: $A(3; 0)$, $B(1; 5)$ и $C(2; 1)$.

Найдем квадраты длин сторон по формуле квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Квадрат стороны $AB$:

$AB^2 = (1 - 3)^2 + (5 - 0)^2 = (-2)^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

2. Квадрат стороны $BC$:

$BC^2 = (2 - 1)^2 + (1 - 5)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

3. Квадрат стороны $AC$:

$AC^2 = (2 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Теперь докажем, что треугольник тупоугольный. Треугольник является тупоугольным, если квадрат его наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон. В нашем случае наибольшей стороной является $AB$, так как $AB^2 = 29$ — это наибольшее из трех значений (29, 17, 2).

Сравним $AB^2$ с суммой $AC^2 + BC^2$:

$29 > 2 + 17$

$29 > 19$

Неравенство истинно, следовательно, треугольник $ABC$ является тупоугольным. Тупой угол лежит напротив наибольшей стороны, то есть это угол $C$.

Теперь найдем косинус тупого угла $C$, используя теорему косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C)$

Выразим из формулы $\cos(C)$:

$\cos(C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

Нам известны квадраты сторон, а для формулы нужны также и сами длины сторон $AC$ и $BC$:

$AC = \sqrt{2}$

$BC = \sqrt{17}$

Подставляем все известные значения:

$\cos(C) = \frac{2 + 17 - 29}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{17}} = \frac{19 - 29}{2\sqrt{34}} = \frac{-10}{2\sqrt{34}} = -\frac{5}{\sqrt{34}}$

Отрицательное значение косинуса подтверждает, что угол $C$ действительно тупой.

Ответ: косинус тупого угла равен $-\frac{5}{\sqrt{34}}$.