Номер 1058, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов - номер 1058, страница 267.

Условие.

1058 Найдите площадь треугольника ABC, если:

a) $BC = 4,125 \text{ м}$, $\angle B = 44^\circ$, $\angle C = 72^\circ$;

б) $BC = 4100 \text{ м}$, $\angle A = 32^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $BC = 4,125$ м, $\angle B = 44^\circ$, $\angle C = 72^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника, $\angle A$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (44^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

2. Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться формулой $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB \cdot \sin(\angle B)$. Для этого сначала найдём длину стороны $AB$.

3. Применим теорему синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$.

Выразим сторону $AB$:

$AB = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)}$.

4. Теперь подставим выражение для $AB$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \left( \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{\sin(\angle A)} \right) \cdot \sin(\angle B) = \frac{BC^2 \sin(\angle B) \sin(\angle C)}{2 \sin(\angle A)}$.

5. Подставим числовые значения и произведём расчёт:

$S = \frac{(4,125)^2 \cdot \sin 44^\circ \cdot \sin 72^\circ}{2 \sin 64^\circ}$

Используя калькулятор, получаем:

$S \approx \frac{17,015625 \cdot 0,69466 \cdot 0,95106}{2 \cdot 0,89879} \approx \frac{11,2365}{1,79758} \approx 6,2507$ м$^2$.

Округлим результат до сотых.

Ответ: $S \approx 6,25$ м$^2$.

б)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $BC = 4100$ м, $\angle A = 32^\circ$, $\angle C = 120^\circ$.

1. Найдём третий угол треугольника, $\angle B$.

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (32^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$.

2. Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу, связывающую одну сторону и все три угла. Как было выведено в предыдущем пункте, эта формула имеет вид:

$S = \frac{BC^2 \sin(\angle B) \sin(\angle C)}{2 \sin(\angle A)}$.

3. Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{4100^2 \cdot \sin 28^\circ \cdot \sin 120^\circ}{2 \sin 32^\circ}$

4. Выполним вычисления:

$S = \frac{16810000 \cdot \sin 28^\circ \cdot \sin 120^\circ}{2 \sin 32^\circ}$

Используя калькулятор для вычисления значений тригонометрических функций, получаем:

$S \approx \frac{16810000 \cdot 0,46947 \cdot 0,86603}{2 \cdot 0,52992} \approx \frac{6833281,5}{1,05984} \approx 6447440,7$ м$^2$.

Округлим результат до целого числа.

Ответ: $S \approx 6447441$ м$^2$.