Номер 17, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 17, страница 267.

Условие.

17 В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов:

а) равно $0$;

б) больше $0$;

в) меньше $0$?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними ($0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$). Поскольку по условию векторы ненулевые, их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, произведение их длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ всегда положительно. Это означает, что знак скалярного произведения зависит исключительно от знака $\cos(\alpha)$.

а) равно 0;

Скалярное произведение равно нулю, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) = 0$. Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, это равенство выполняется только тогда, когда $\cos(\alpha) = 0$. Это соответствует углу $\alpha = 90^\circ$. Векторы, угол между которыми равен $90^\circ$, называются перпендикулярными (или ортогональными).

Ответ: скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю в том случае, если эти векторы перпендикулярны (угол между ними равен $90^\circ$).

б) больше 0;

Скалярное произведение больше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$. Так как произведение длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ всегда положительно, это неравенство выполняется, когда $\cos(\alpha) > 0$. Косинус угла положителен, если угол острый, то есть $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.

Ответ: скалярное произведение ненулевых векторов больше нуля в том случае, если угол между ними острый (от $0^\circ$ включительно до $90^\circ$ не включительно).

в) меньше 0?

Скалярное произведение меньше нуля, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$. Так как произведение длин $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ всегда положительно, это неравенство выполняется, когда $\cos(\alpha) < 0$. Косинус угла отрицателен, если угол тупой, то есть $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.

Ответ: скалярное произведение ненулевых векторов меньше нуля в том случае, если угол между ними тупой (от $90^\circ$ не включительно до $180^\circ$ включительно).