Номер 16, страница 267 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Вопросы к главе 11 - номер 16, страница 267.

Условие.

16 Что такое скалярное произведение двух векторов?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Скалярное произведение двух векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (то есть число), а не новый вектор. Эта величина характеризует взаимное расположение векторов (в частности, угол между ними) и имеет широкое применение в геометрии и физике (например, при вычислении механической работы). Существует два основных, эквивалентных друг другу, определения скалярного произведения.

Геометрическое определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется произведение их длин (модулей) на косинус угла $\alpha$ между ними.

Формула: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$

Здесь $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а $\alpha$ — угол между ними. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Алгебраическое определение (в координатах)

В прямоугольной (декартовой) системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

Для векторов на плоскости, заданных координатами $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y\}$, формула имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$

Для векторов в трехмерном пространстве, заданных как $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$, формула соответственно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Свойства скалярного произведения

Скалярное произведение обладает следующими важными свойствами (для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ и любого числа $k$):

1. Коммутативность (перестановочность): $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

2. Дистрибутивность (распределительный закон): $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

3. Сочетательность с умножением на скаляр: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

4. Скалярный квадрат вектора: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Скалярное произведение вектора на самого себя всегда неотрицательно и равно нулю только в том случае, если вектор нулевой.

Геометрический смысл и применение

Знак скалярного произведения позволяет судить об угле между векторами:

– Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол между векторами острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$).

– Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол между векторами тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$).

– Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, то векторы ортогональны, то есть перпендикулярны ($\alpha = 90^\circ$). Это является основным критерием перпендикулярности ненулевых векторов.

Используя скалярное произведение, можно легко найти косинус угла между векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

А также проекцию одного вектора на направление другого:

$пр_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$

Ответ: Скалярное произведение двух векторов — это число (скаляр), которое можно вычислить двумя основными способами: 1) как произведение длин (модулей) векторов на косинус угла между ними; 2) как сумму произведений соответствующих координат векторов. Оно показывает, насколько векторы сонаправлены, и используется для нахождения угла между векторами, проверки их перпендикулярности и вычисления проекций.